Ray Tracing

随机渐进式光子映射（Stochastic Progressive Photon Mapping, SPPM）是光子映射系列算法的进阶算法，本文介绍如何实现 SPPM 以及如何将 SPPM 与路径追踪（Path Tracing, PT）结合。 光子映射系列算法 光子映射 光子映射（Photon Mapping, PM）是光子映射系列算法中的初代算法，是一个两阶段算法，包括光子追踪和光子映射。其思想就是首先从光源发射光子，光子在场景中不断反弹，模拟现实世界的过程，然后再使用 Path Tracing，过程中在合适的地方使用光子来估计 radiance，加速渲染。 光子的发射 光子是光源的通量/功率的载体，光源实质上是通过发射光子来实现照明。PM 中的光子与物理中的光子不同，物理学中的光子是光能传递的最小单元，即量子化的性质，单个光子的能量是 $E = h\nu$，而 PM 中的光子实际上是一堆物理中的光子，是更符合应用的模型。所以，接下来所讨论的光子都是 PM 意义下的光子。 如何计算单个光子的通量呢？发射光子的过程实际上就类似于对光源的总通量进行 Monte Carlo 估计的过程，每个光子都是一个样本，每一份通量相加就得到了总通量。所以我们就对光源表面和出射方向进行采样，按照类似的过程计算每一个光子的通量。总通量按照以下积分计算 $$ \begin{aligned} \Phi & = \int_M \int_{\Omega^+} L_e(x, \omega) (n \cdot \omega) \mathrm d\omega \mathrm dA \\ & \approx \dfrac{1}{N} \sum_{i = 1}^N \dfrac{L_e(x, \omega) (n \cdot \omega)}{p(x)p(\omega)} \end{aligned} $$所以单个光子的通量就是 $\dfrac{1}{N} \dfrac{L_e(x, \omega) (n \cdot \omega)}{p(x)p(\omega)}$，$N$ 表示被发射光子的总数。严格意义上来说，通量的定义是不考虑立体角和照明面积的，所以所谓的单个光子的通量实际上是通量的二阶差分 $\Delta^2 \Phi$。在实际实现中，我们在计算通量时并不会除以 $N$，这是因为在 SPPM 中光子数量会随着迭代次数增加而增加，因此我们也将其 $\dfrac{L_e(x, \omega) (n \cdot \omega)}{p(x)p(\omega)}$ 视为一种没有放缩的通量，直到最后再除以 $N$ 得到真正的通量。 ...

本文主要介绍多重重要性采样（Multiple Importance Sampling）及其在光线追踪中的典型应用。 Multiple Importance Sampling Monte Carlo Path Tracing 在 Ray Tracing 中，最核心的技术就是 Monte Carlo Estimation。通过使用 Monte Carlo Estimation，我们可以求解 Rendering Equation。对于 Monte Carlo Estimation 来说，一个合适的采样方法可以极大提升收敛的速度，具体来说，对于以下积分及其 Estimator $$ I = \int_D f(x) \mathrm dx \approx \dfrac{1}{N} \sum_{i = 1}^N \dfrac{f(X_i)}{p(X_i)} $$$X_i$ 的最佳的采样分布应该满足 $p(X_i) \propto f(X_i)$。 然而对于 Rendering Equation 来说，这个条件难以满足，因为其被积函数包含了 cosine-weighted BSDF 和 radiance 两部分因子，后者更是需要递归求解的未知项，显然没有办法进行完美的采样。 $$ L_o(x, \omega_o) = L_e(x, \omega_o) + \int_{\Omega^+} f_s(x, \omega_o, \omega_i) L_i(x, \omega_i) (n \cdot \omega_i) \mathrm d\omega_i $$一般情况下，我们只能选择让采样分布于其中一部分因子的形状近似，也就产生了两种采样——BSDF 采样（包括了余弦项）和光源采样（光源贡献的 radiance 应该比非直接的更大）。 ...