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物理
热学
理想气体

理想气体

  • 温度
    • 热平衡
      • 对于两个体系达到热平衡：
        • 如果绝热，则各自达到热平衡状态；
        • 如果导热，则达到共同的热平衡状态。
    • 热力学第零定律
      • 如果 A 和 C，B 和 C 分别热平衡，则 A 和 B 一定热平衡。
      • 说明互为热平衡的体系，一定有共同的宏观物理性质，对应的状态参量即温度相同。
      • 几个温度相同的系统放在一起一定处于热平衡。
    • 温标
      • 温标是温度的数值表示。
      • 常见温标：
        • 热力学温标 TT：单位为 K\mathrm K
        • 摄氏温标 tt：单位为 °C\degree\mathrm C，满足 t=T−273.15t=T-273.15
  • 理想气体状态方程
    • 理想气体状态方程描述理想气体在任意平衡态下各宏观量之间的关系： pV=mMRT=νRT pV=\frac{m}{M}RT=\nu RT
    • 其中 R=8.31 J⋅mol−1⋅K−1R=8.31\ \mathrm {J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} 为摩尔气体常量。
    • 另一形式： p=NVkT=nkT p=\frac{N}{V}kT=nkT
    • 其中 nn 为分子数密度，k=1.38×10−23 J/Kk=1.38\times 10^{-23}\ \mathrm{J/K} 为玻尔兹曼常量。
  • 理想气体微观模型
    • 力学性质
      • 分子都是质点。
      • 分子之间和分子与容器壁间除了碰撞瞬间外，无相互作用力。
      • 弹性碰撞，即动能守恒。
      • 分子运动服从牛顿力学。
    • 位置分布
      • 如果忽略重力，平衡态时分子位置上分布均匀，分子数密度相等，即 n=dNdV=NV n=\frac{\mathrm dN}{\mathrm dV}=\frac{N}{V}
    • 速度
      • 平衡态时，分子速度按方向的分布是均匀的。单个分子的各方向速率平均值相等，指向各方向概率相等，即 vˉx=vˉy=vˉz=0 \bar{v}_x=\bar{v}_y=\bar{v}_z=0 vx2‾=vy2‾=vz2‾=13v2‾ \overline{v_x^2}=\overline{v_y^2}=\overline{v_z^2}=\frac{1}{3}\overline{v^2}
    • 气体体积
      • 热运动使分子倾向于远离，更加无序。
      • 分子间作用力使分子倾向于处在平衡位置，更加有序。
      • 在容器中，气体会被限制在容器中，就有一定的体积，等于容器的容积。
    • 气体压强
      • 气体压强等于气体对单位面积容器壁的压力。
      • 气体对容器壁的压力是气体分子对容器壁频繁碰撞的总的平均效果。
      • 压强公式： p=23nεˉt p=\frac{2}{3}n\bar{\varepsilon}_{\mathrm t}
      • 其中 εˉt\bar{\varepsilon}_t 是分子平均平动动能。
    • 温度
      • 平均平动动能公式： εˉt=32kT \bar{\varepsilon}_{\mathrm t}=\frac{3}{2}kT
      • 平均平动动能公式适用于气体、液体、固体。
    • 方均根速率
      • 理想气体的分子热运动的方均根速率定义为 vrms=v2‾=3kTm=3RTM≈1.73RTM v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}\approx 1.73\sqrt{\frac{RT}{M}}
      • 其中 mm 是单个分子的质量，MM 是摩尔质量。
      • 方均根速率只与温度有关。
  • 理想气体内能
    • 自由度
      • 自由度是描述物体的空间位置的独立变量数，表示为 ii。
      • 自由度等于总变量数减去约束条件个数。
      • 自由度分为平动自由度 tt、转动自由度 rr、振动自由度 vv，所以 i=t+r+v i=t+r+v
      • 对于刚体，忽略振动自由度。
      • 常见刚性分子的自由度：
        分子种类平动自由度 tt转动自由度 rr自由度 ii
        单原子分子330033
        双原子分子332255
        线性多原子分子332255
        非线性多原子分子333366
    • 能量均分定理
      • 在温度为 TT 的平衡态下，理想气体分子的每个自由度上的平均动能都相等，都等于 12kT\frac{1}{2}kT。
      • 理想气体分子的平均动能等于平均平动动能和平均转动动能之和 εˉk=εˉt+εˉr=t+r2kT=i2kT \bar{\varepsilon}_{\mathrm k}=\bar{\varepsilon}_{\mathrm t}+\bar{\varepsilon}_{\mathrm r}=\frac{t+r}{2}kT=\frac{i}{2}kT
    • 内能
      • 理想气体内能不考虑分子的势能，只考虑动能。
      • 理想气体内能等于平均动能乘以分子数，即 E=Nεˉk=Ni2kT=i2νRT E=N\bar{\varepsilon}_{\mathrm k}=N\frac{i}{2}kT=\frac{i}{2}\nu RT
  • 麦克斯韦速率分布
    • 速率分布函数
      • 速率分布函数是分子速率的概率密度函数，定义为 f(v)=lim⁡Δv→0ΔNNΔv=dNNdv f(v)=\lim_{\Delta v\to 0}\frac{\Delta N}{N\Delta v}=\frac{\mathrm dN}{N\mathrm dv}
      • 速率分布函数满足 ∫0+∞f(v)dv=1 \int_0^{+\infty}f(v)\mathrm dv=1
    • 理想气体的速率分布
      • 平衡态时，有麦克斯韦速率分布函数： f(v)=4π(m2πkT)1.5v2exp⁡(−mv22kT) f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{1.5}v^2\exp\left(-\frac{mv^2}{2kT}\right)
    • 特征速率
      • 最概然速率
        • 最概然速率 vpv_p 是最有可能出现的速率，即 vp=arg⁡max⁡vf(v)=2kTm=2RTM≈1.41RTM v_p=\operatorname{arg}\max_v f(v)=\sqrt{\frac{2kT}{m}}=\sqrt{\frac{2RT}{M}}\approx 1.41\sqrt{\frac{RT}{M}}
        • 一定温度下，单个分子的速率在 vpv_p 附近的区间的概率最大。
        • 最概然速率用于讨论速率分布，随温度增高而增大。
      • 平均速率
        • 平均速率即 vˉ=E(v)=∫0+∞f(v)vdv=8kTπm=8RTπM≈1.60RTM \bar v=E(v)=\int_0^{+\infty}f(v)v\mathrm dv=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}\approx 1.60\sqrt{\frac{RT}{M}}
        • 平均速率用于讨论平均自由程。
      • 方均根速率
        • 方均根速率也可以由麦克斯韦速率分布函数推导得出： vrms2=E(v2)=∫0+∞f(v)v2dv=3kTm=3RTM v_{\mathrm{rms}}^2=E(v^2)=\int_0^{+\infty}f(v)v^2\mathrm dv=\frac{3kT}{m}=\frac{3RT}{M}
        • 所以 vrms=3kTm=3RTM≈1.73RTM v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}\approx 1.73\sqrt{\frac{RT}{M}}
        • 方均根速率用于讨论平均平动动能。
  • 玻尔兹曼分布律
    • 在温度为 TT 的平衡态下，经典系统中微观粒子按状态分布满足 dNeN∝exp⁡(−εkT) \frac{\mathrm dN_e}{N}\propto \exp\left(-\frac{\varepsilon}{kT}\right)
  • 平均自由程
    • 一个分子连续两次碰撞之间经历的平均自由路程称为平均自由程，记作 λˉ\bar{\lambda}。
    • 一个分子在单位时间内受到的平均碰撞次数称为平均碰撞频率，记作 Zˉ\bar{Z}。
    • 平均碰撞频率公式： Zˉ=2πd2vˉn \bar{Z}=\sqrt{2}\pi d^2\bar{v}n
    • 平均自由程和平均碰撞频率的关系： λˉ=vˉZˉ=12πd2n=kT2πd2p \bar{\lambda}=\frac{\bar{v}}{\bar{Z}}=\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2 n}=\frac{kT}{\sqrt{2}\pi d^2 p}
    • 当气体容器大小小于平均自由程时，实际的平均自由程就是容器大小。
循环过程