简谐振动

  • 定义
    • 基本概念
      • 合力为零的位置定义为平衡位置。
      • 振动物体偏离平衡位置时使其恢复原来位置的力定义为恢复力。
      • 表达式为 x=Acos(ωt+φ) x=A\cos(\omega t+\varphi) v=Aωsin(ωt+φ)=Aωcos(ωt+φ+π2) v=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)=A\omega\cos\left(\omega t+\varphi+\frac{\pi}{2}\right) a=Aω2cos(ωt+φ)=Aω2cos(ωt+φ+π) a=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi)=A\omega^2\cos\left(\omega t+\varphi+\pi\right)
    • 特征量
      • 振幅
        • 任意时刻: A=x2+(vω)2 A=\sqrt{x^2+\left(\frac{v}{\omega}\right)^2}
      • 周期、频率、角频率
        • 周期为 TT,频率为 ν\nu,角频率为 ω\omega
        • 角频率是 2π2\pi 秒内的振动次数。
      • 相位、初相
        • 相位 ωt+φ\omega t+\varphi 描述了 tt 时刻的振动状态。
        • 初相 φ\varphit=0t=0 的振动状态。
        • cosφ=x0A \cos\varphi=\frac{x_0}{A} sinφ=v0Aω \sin\varphi=-\frac{v_0}{A\omega} φ=arctan(x0ωv0) \varphi=\arctan\left(-\frac{x_0\omega}{v_0}\right)
      • 相位差
        • Δφ=φ2φ1\Delta \varphi=\varphi_2-\varphi_1,若 Δφ>0\Delta\varphi>0,则 2 超前 1,反之落后。
        • Δφ\Delta\varphi 一般取 [π,π][-\pi,\pi]
        • 时间差为 Δt=Δφω\Delta t=\frac{\Delta\varphi}{\omega}
    • 表示
      • 公式
      • 旋转矢量
        • 旋转矢量 A\boldsymbol A 长度为 AA,不断绕原点旋转。
        • A\boldsymbol Axx 轴正方向夹角为相位。
        • A\boldsymbol A 的终点做匀速圆周运动,其各变量在 xx 轴上的投影与简谐振动有关。
          • 终点的投影是简谐振动的位置。
          • 终点的速度是沿切线方向的矢量,在 xx 轴上的投影是简谐振动的速度。
          • 终点的向心加速度是指向圆心的矢量,在 xx 轴上的投影是简谐振动的加速度。
  • 常见简谐振动
    • 弹簧振子
      • 质量为 mm 的物体连接在弹簧 kk 上。
      • ω=km    T=2πmk \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\iff T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}
    • 复摆
      • ω=mghJ    T=2πJmgh \omega=\sqrt{\frac{mgh}{J}}\iff T=2\pi\sqrt{\frac{J}{mgh}}
  • 简谐振动的能量
    • 瞬时值
      • 动能: Ek=12mω2A2sin2(ωt+φ)=12kA2sin2(ωt+φ) E_{\mathrm k}=\frac{1}{2}m\omega^2A^2\sin^2(\omega t+\varphi)=\frac{1}{2}kA^2\sin^2(\omega t+\varphi)
      • 势能: Ep=12mω2A2cos2(ωt+φ)=12kA2cos2(ωt+φ) E_{\mathrm p}=\frac{1}{2}m\omega^2A^2\cos^2(\omega t+\varphi)=\frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t+\varphi)
      • 动能和势能的角频率是 2ω2\omega
      • 机械能: E=Ek+Ep=12kA2 E=E_{\mathrm k}+E_{\mathrm p}=\frac{1}{2}kA^2
    • 平均值
      • Eˉk=12E=Eˉp=14kA2 \bar{E}_{\mathrm k}=\frac{1}{2}E=\bar{E}_{\mathrm p}=\frac{1}{4}kA^2
      • 系统确定时(ω\omega 一定),能量与振幅的平方成正比 A=2Ek A=\sqrt{\frac{2E}{k}}
    • 能量方法推导简谐振动
      • 对于系统的机械能满足: E=12mv2+12kx2=constant E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2=\mathrm{constant}
      • 对于以上方程对 tt 求导: mvdvdt+kxdxdt=0    d2xdt2+ω2x=0 mv\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}+kx\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=0\iff \frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+\omega^2x=0
  • 简谐振动的合成
    • 同方向同频率合成
      • 一个质点同时参与两个简谐振动 x1=A1cos(ωt+φ1),x2=cos(ωt+φ2)x_1=A_1\cos(\omega t+\varphi_1),x_2=\cos(\omega t+\varphi_2)
      • 合成的运动仍然是简谐振动,并且有 A=A12+A22+2A1A2cos(φ1φ2) A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)} φ=arctanA1sinφ1+A2sinφ2A1cosφ1+A2cosφ2 \varphi=\arctan\frac{A_1\sin\varphi_1+A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1+A_2\cos\varphi_2}
      • 同时可以利用旋转矢量的合成来求解。一般使用这种方法。
      • φ2φ1=2kπ\varphi_2-\varphi_1=2k\pi 时,振幅最大,当 φ2φ1=(2k+1)π\varphi_2-\varphi_1=(2k+1)\pi 时,振幅最小。
    • 同方向不同频率合成
      • 一个质点同时参与两个简谐振动 x1=A1cos(ω1t+φ1),x2=cos(ω2t+φ2)x_1=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1),x_2=\cos(\omega_2 t+\varphi_2)
      • 此时合运动不是简谐振动,振幅不断加强和减弱,ω=ω1ω2\omega=|\omega_1-\omega_2|
      • ω1,ω2\omega_1,\omega_2 都很大并且很接近时,振幅的强弱变化就会缓慢,这种现象称为拍。
      • 拍频 ν=ν1ν2\nu=|\nu_1-\nu_2| 表示振幅的强弱变化的频率。