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物理
电磁学
静电场

静电场

  • 电荷
    • 分为正、负电荷。
    • 电荷量用 QQ 或 qq 表示，单位为 C\mathrm C。
    • 电荷量是元电荷 ee 的整数倍。
    • 电荷的电荷量与运动状态无关。
  • 库仑定律
    • 内容
      • 两个静止点电荷之间的作用力与两电荷的电荷量成正版，与距离平方成反比。
      • F12=kq1q2r122e12=q1q24πε0r122e12\boldsymbol F_{12} = k \dfrac{q_1q_2}{r_{12}^2} \boldsymbol e_{12} = \dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0 r_{12}^2} \boldsymbol e_{12}
      • k=8.99×109 N⋅m2/C2k=8.99 \times 10^9\ \mathrm{N \cdot m^2 / C^2}
    • 条件
      • 库仑定律只对静止点电荷成立。
    • 叠加原理
      • 两个点电荷之间的作用力与其他电荷无关，多个力可以叠加。
      • 对于 q0,q1,q2,…,qnq_0,q_1,q_2,\dots,q_n，F0=∑i=1nFi0\boldsymbol F_0 = \sum\limits_{i = 1}^{n} \boldsymbol F_{i0}。
  • 电场
    • 性质
      • 对任何电荷都有作用力。
      • 具有能量。
      • 静电感应和极化现象。
    • 电场强度
      • 试探电荷：电量充分小的点电荷。
      • 电场强度定义为 E=Fq\boldsymbol E = \dfrac{\boldsymbol F}{q}，F\boldsymbol F 为试探电荷收到的电场力，单位为 N/C\mathrm {N/C} 或 V/m\mathrm{V/m}。
      • 点电荷 qq 的场强公式：E=q4πε0r2er\boldsymbol E = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\boldsymbol e_r，er=rr\boldsymbol e_r = \dfrac{\boldsymbol r}{r} 为从 qq 指向场点的单位矢量（E\boldsymbol E 的方向由 qq 的符号体现）。
      • 点电荷系的场强由各点电荷的场强叠加。
    • 常用结论
      • 相距 ll 的 −q,q-q,q 组成的电偶极子 p=ql\boldsymbol p = q\boldsymbol l
        • 中垂线上距离连线 yy 处：E=−p4πε0(y2+l24)3\boldsymbol E = \dfrac{-\boldsymbol p}{4\pi\varepsilon_0 (y^2 + \frac{l^2}{4})^3}
      • 无限均匀带电直线 λe\lambda_e
        • 距离直线 aa 处：E=λe2πε0aE = \dfrac{\lambda_e}{2\pi\varepsilon_0 a}
      • 无限均匀带电平面 σe\sigma_e
        • 距离平面 aa 处：E=σe2ε0E = \dfrac{\sigma_e}{2\varepsilon_0}
  • 电通量
    • 场强大小等于电场线的数密度，则电场中通过任意曲面的电场线数量称为通过该面的电通量，记作 Φe\Phi_e。
    • dΦe=E⋅dS\mathrm d\Phi_e = \boldsymbol E \cdot \mathrm d\boldsymbol S
    • 对于闭合曲面，一般规定曲面的方向为从内向外。
  • 高斯定理
    • 内容
      • 对于任意闭合曲面 SS，其电通量 Φe\Phi_e 与 SS 内包围的净电荷量有 Φe=∮SE⋅dS=1ε0∑q\Phi_e = \displaystyle\oint_S \boldsymbol E \cdot \mathrm d\boldsymbol S = \dfrac{1}{\varepsilon_0} \displaystyle\sum q。
      • 如果 ∣E∣|\boldsymbol E| 和 E\boldsymbol E 与 dS\mathrm d\boldsymbol S 的夹角都相等，则可以把点积换成乘法，并把 EE 提取到积分号外。这可以方便地求解 EE。
      • 高斯定理只考虑的曲面内的净电荷量，但是曲面上的电场强度是整体合成的，要考虑曲面内外的所有电荷。
      • 只有在曲面形状和内外电荷分布都具有一定的对称性时，才可以提取 EE。
    • 常用的提取情况
      • 电荷连续分布情况下，以下几何结构可以提取出 EE：
        • 球：球面、球体、有厚度球壳
        • 柱：无限高度柱面、无限高度柱体、无限高度有厚度柱壳
        • 平面：无限平面、无限有厚度平面
  • 电势
    • 电势能
      • 点电荷产生的电场是保守场，静电力做功与路径无关。因此可以引入电势能。
      • 静电力做功等于电势能的减少，即 Aab=−ΔA=ΔAa−ΔAbA_{ab} = -\Delta A = \Delta A_a - \Delta A_b。
      • 电势能是相对的，需要选取电势能零点，则 Wa=Aa0W_a = A_{a0}。
    • 电势
      • 电势能包括电荷的性质和电场的性质，而电势只与电场有关。定义 φ=Wq\varphi = \dfrac{W}{q}。
      • 定义电势差 Uab=φa−φbU_{ab} = \varphi_a - \varphi_b。
    • 计算
      • 计算电势一般有两种方式：
        • 按照定义：φa=∫(a)(0)E⋅dl\varphi_a = \displaystyle\int_{(a)}^{(0)} \boldsymbol E \cdot \mathrm d\boldsymbol l。
        • 叠加法：φa=∭Vdφ\varphi_a = \displaystyle\iiint_V \mathrm d\varphi。
      • 电势差计算：Uab=φa−φb=∫(a)(b)E⋅dlU_{ab} = \varphi_a - \varphi_b = \displaystyle\int_{(a)}^{(b)} \boldsymbol E \cdot \mathrm d\boldsymbol l。
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