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物理
电磁学
电磁感应

电磁感应

  • 法拉第电磁感应定律
    • 内容
      • 设 E\mathcal E 为回路的感应电动势，ϕ\phi 为其磁通量，则 E=−dϕdt\mathcal E = -\dfrac{\mathrm d\phi}{\mathrm dt}。
      • 回路绕行方向与回路面的方向关系由右手螺旋定则确定。E>0\mathcal E>0 则感应电动势方向与回路绕行方向相同。
      • 判断方向也可以通过楞次定律：感应电流的效果阻碍磁通量变化。
    • 动生电动势
      • 已知导体棒 LL 在匀强磁场 B\boldsymbol B 中以速度 v\boldsymbol v 运动，则其产生 E=∫L(v×B)⋅dl\mathcal E = \displaystyle\int_L (\boldsymbol v \times \boldsymbol B) \cdot \mathrm d\boldsymbol l。
    • 感生电动势
      • 已知面为 SS 的回路不动，磁场 B\boldsymbol B 随时间变化，则产生 E=−ddt∬SB⋅dS=−∬S∂B∂t⋅dS\mathcal E =\displaystyle -\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \iint_S \boldsymbol B \cdot \mathrm d\boldsymbol S = - \iint_S \frac{\partial\boldsymbol B}{\partial t} \cdot \mathrm d\boldsymbol S。
      • 对于会同时产生动生电动势和感生电动势的情况，直接将两者相加。
    • 感生电场
      • 感生电场由变化的磁场激发，其场强记作 Ek\boldsymbol E_k。
      • 感生电场引起回路的感生电动势，即 E=∮LEk⋅dl\mathcal E = \displaystyle\oint_L \boldsymbol E_k \cdot \mathrm d\boldsymbol l。
      • 感生电场性质不同于静电场，类似于磁场，是有旋无源场。
  • 自感和互感
    • 自感
      • 定义线圈的自感 L=ΨIL = \dfrac{\Psi}{I}，Ψ\Psi 为线圈电流为 II 时通过线圈的磁通量，单位为 H\mathrm H。
      • Ψ=LI\Psi = LI，L=−EdIdtL = -\dfrac{\mathcal E}{\dfrac{\mathrm dI}{\mathrm dt}}。
      • 自感与线圈的位置、结构、材料有关，与通过线圈的电流无关。
    • 互感
      • 定义两个线圈的互感 M=Ψ21I1=Ψ12I2M = \dfrac{\Psi_{21}}{I_1} = \dfrac{\Psi_{12}}{I_2}。
      • M=−E21dI1dt=−E12dI2dtM = -\dfrac{\mathcal E_{21}}{\dfrac{\mathrm dI_1}{\mathrm dt}} = -\dfrac{\mathcal E_{12}}{\dfrac{\mathrm dI_2}{\mathrm dt}}。
      • 互感与电流无关。
  • 磁场能量
    • 能量
      • W=12LI2W = \dfrac{1}{2}LI^2
    • 能量密度
      • 定义单位体积带有的磁场能量为磁能密度 wm=12B⋅Hw_m = \dfrac{1}{2} \boldsymbol B \cdot \boldsymbol H。
      • 电场和磁场的总能量密度为 w=12E⋅D+12B⋅Hw = \dfrac{1}{2} \boldsymbol E \cdot \boldsymbol D + \dfrac{1}{2} \boldsymbol B \cdot \boldsymbol H。
  • 麦克斯韦方程组
    • 位移电流
      • 普通的电流称为传导电流 IcI_c。
      • 定义位移电流密度 Jd=dDdt\boldsymbol J_d = \dfrac{\mathrm d\boldsymbol D}{\mathrm dt}。
      • 定义位移电流 Id=∬SJd⋅dS=∬SdDdt⋅dSI_d = \displaystyle\iint_S \boldsymbol J_d \cdot \mathrm d\boldsymbol S = \iint_S \dfrac{\mathrm d\boldsymbol D}{\mathrm dt} \cdot \mathrm d\boldsymbol S。
      • 定义全电流 Is=Ic+IdI_s = I_c + I_d，全电流密度 Js=Jc+Jd\boldsymbol J_s = \boldsymbol J_c + \boldsymbol J_d。
    • 方程组
      • 电场高斯定理：∮SD⋅dS=∭VρdV\displaystyle \oint_S \boldsymbol D \cdot \mathrm d\boldsymbol S = \iiint_V \rho \mathrm dV
      • 电场环路定理：∮LE⋅dl=−∬S∂B∂t⋅dS\displaystyle \oint_L \boldsymbol E \cdot \mathrm d\boldsymbol l = -\iint_S \dfrac{\partial \boldsymbol B}{\partial t} \cdot \mathrm d\boldsymbol S
        • E\boldsymbol E 由静电场和感生电场叠加，上式中静电场场强的环路积分为 00，没有贡献。
      • 磁场高斯定理：∮SH⋅dS=0\displaystyle \oint_S \boldsymbol H \cdot \mathrm d\boldsymbol S = 0
      • 磁场环路定理：∮LH⋅dl=∬S(Jc+∂D∂t)⋅dS\displaystyle \oint_L \boldsymbol H \cdot \mathrm d\boldsymbol l = \iint_S \left( \boldsymbol J_c + \dfrac{\partial \boldsymbol D}{\partial t} \right) \cdot \mathrm d\boldsymbol S
    • 电磁波
      • 由麦克斯韦方程组可得波速 u=1μεu = \dfrac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}。真空中 u=1μ0ε0=cu = \dfrac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = c。
      • 介质中折射率 n=μrεrn = \sqrt{\mu_r\varepsilon_r}。
磁场