二阶电路

• 定义
  • 如果一个电路包含两个个动态元件（电容和电感），则这个电路就是二阶电路。
  • 在分析方法上，二阶电路与一阶电路相似，都对动态元件外的部分进行等效，使用微分方程表示电路。
  • 二阶电路使用二阶常系数线性微分方程表示。
• RLC 串联电路
  • 定义
    • 电路中含有电阻 $R$、电感 $L$、电阻 $C$ 和直流电压源 $u_{\mathrm{OC}}$，四个元件串联。
    • 电路对应微分方程为 $LC\frac{\mathrm d^2u_C(t)}{\mathrm dt^2}+RC\frac{\mathrm du_C(t)}{\mathrm dt}+u_C(t)=u_{\mathrm{OC}}$
    • RLC 串联电路一般先求解 $u_C(t)$ 较为方便。
  • 求解
    • 根据二阶常系数线性微分方程的求解方法，将 $u_C(t)$ 的求解分为齐次通解 $u_{C\mathrm h}(t)$ 和特解 $u_{C\mathrm p}(t)$，最后代入初值条件。
    • 齐次通解实为电路的零输入响应。
    • 根据特征方程 $LCs^2+RCs+1=0$，写出 $u_{C\mathrm h}(t)$ 的形式。
    • $u_{\mathrm{OC}}$ 是常数，则 $u_{C\mathrm p}(t)=u_{\mathrm{OC}}$。
    • 使用 $u_C(0)$ 和 $i_L(0)$ 解出方程，注意 $i_L(0)$ 不是 $u_C(t)$ 在 $t=0$ 的导数。
• GCL 并联电路
  • 定义
    • 电路中含有电导 $G$、电感 $L$、电阻 $C$ 和直流电流源 $i_{\mathrm{SC}}$，四个元件并联。
    • 电路对应微分方程为 $LC\frac{\mathrm d^2i_L(t)}{\mathrm dt^2}+GL\frac{\mathrm di_L(t)}{\mathrm dt}+i_L(t)=i_{\mathrm{SC}}$
  • 求解
    • 与 RLC 串联电路类似。