相量

• 正弦稳态电路
  • 在同频率的正弦激励作用下，电路达到电流与电压稳定地周期性变化，则此时称为正弦稳态电路。
  • 正弦稳态电路中电流与电压也符合正弦规律，频率相同，不同的只有相位。
• 相量
  • 定义
    • 正弦稳态电路，无需考虑频率，只要考虑幅度与相位。
    • 复数可以同时表示幅度与相位，因此定义相量，其模是幅度，与复平面实轴的夹角是相位。
    • 相量可以表示为 $x+\mathrm jy, re^{\mathrm j\theta}$ 或 $r\angle\theta$。
    • 相量的相位取值范围为 $[-\pi,\pi]$。
  • 变换过程
    • 对于 $x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$，变换为 $x(t)=\operatorname{Re}\{Ae^{\mathrm j(\omega t+\varphi)}\}=\operatorname{Re}\{Ae^{\mathrm j\varphi}e^{\mathrm j\omega t}\}$
    • 其中 $Ae^{\mathrm j\varphi}$ 与 $t$ 无关，记作 $\dot{x}$，即相量。
  • 计算与性质
    • 加法，常使用 $x+\mathrm jy$ 形式： $z_1+z_2=(x_1+x_2)+\mathrm j(y_1+y_2)$
    • 乘法，常使用 $re^{\mathrm j\theta}$ 或 $r\angle\theta$ 形式： $z_1z_2=r_1r_2e^{\mathrm j(\theta_1+\theta_2)}=r_1r_2\angle(\theta_1+\theta_2)$
    • 形式变换： $r=\sqrt{x^2+y^2}$ $\frac{y}{x}=\tan\theta$
    • 相量从时域到复数域变换过程具有线性性质。
  • 电流与电压各值的关系

    • 变量	瞬时值	最大值	有效值	初相	相量
      电压	$u(t)=U_m\cos(\omega t+\varphi)$	$U_m$	$\frac{U_m}{\sqrt{2}}$	$\varphi$	$\dot{U}_m=U_m\angle\varphi$
      电流	$i(t)=I_m\cos(\omega t+\varphi)$	$I_m$	$\frac{I_m}{\sqrt{2}}$	$\varphi$	$\dot{I}_m=I_m\angle\varphi$