文档
物理
电路分析
一阶电路

一阶电路

  • 定义
    • 如果一个电路只包含一个动态元件（电容或电感），则这个电路就是一阶电路。
    • 如果动态电路中的有多个同类型动态元件，则可以等效为一个后当作一阶电路处理。
    • 线性时不变的一阶电路用一阶常系数线性微分方程描述。
    • 接下来默认一阶电路是线性时不变的。
  • 分解法
    • 分解法是解决一阶电路的重要方法，使求解更加模式化。
    • 一般将一阶电路分解为两个单口网络，其中一个是动态元件，另外一个则是剩下的部分。
    • 根据动态元件的类型，分解后的对剩下的部分的等效处理方式不同：
    • 如果动态元件有非零的初始状态变量，则也需要进行等效处理：
      • 电容 CC：uC(0)≠0u_C(0)\ne 0，则等效为 CC（零初值）与 uC(0)u_C(0) 的电压源串联。
      • 电感 LL：iL(0)≠0i_L(0)\ne 0，则等效为 LL（零初值）与 iL(0)i_L(0) 的电流源并联。
  • 状态输入分解法
    • 定义
      • 这种方法求解动态元件的状态变量，将状态变量称为全响应，并将元件分解为零状态和零输入两部分求解。
      • 全响应等于零状态响应和零输入响应的和。
      • 这种方法只适用于动态元件的状态变量。
    • 零状态响应
      • 定义
        • 动态元件的初始状态变量为零，元件的响应则称为零状态响应。
      • 电容
        • 直流电压源 uOCu_{\mathrm{OC}}（非关联参考方向）、电阻 RR 和电容 CC 串联，则满足以下关系： RCduC(t)dt+uC(t)=uOC,uC(0)=0 RC\frac{\mathrm du_C(t)}{\mathrm dt}+u_C(t)=u_{\mathrm{OC}},u_C(0)=0
        • 求解得出 uC(t)=uOC(1−exp⁡(−tRC)) u_C(t)=u_{\mathrm{OC}}\left(1-\exp\left(-\frac{t}{RC}\right)\right) uC(+∞)=lim⁡t→+∞uC(t)=uOC u_C(+\infty)=\lim_{t\to+\infty}u_C(t)=u_{\mathrm{OC}}
        • 定义时间常数 τ=RC \tau=RC
      • 电感
        • 直流电流源 iSCi_{\mathrm{SC}}（非关联参考方向）、电阻 RR 和电感 LL 并联，则满足以下关系： GLdiL(t)dt+iL(t)=iSC,iL(0)=0 GL\frac{\mathrm di_L(t)}{\mathrm dt}+i_L(t)=i_{\mathrm{SC}},i_L(0)=0
        • 求解得出 iL(t)=iSC(1−exp⁡(−tGL)) i_L(t)=i_{\mathrm{SC}}\left(1-\exp\left(-\frac{t}{GL}\right)\right) iL(+∞)=lim⁡t→+∞iL(t)=iSC i_L(+\infty)=\lim_{t\to+\infty}i_L(t)=i_{\mathrm{SC}}
        • 定义时间常数 τ=GL \tau=GL
    • 零输入响应
      • 定义
        • 动态元件的所在电路没有源，元件的响应则称为零输入响应。
      • 电容
        • 设电容 CC 的初值为 u0=uC(0)u_0=u_C(0)，则可以等效为输入为 −u0-u_0 的零状态响应，则零初值电容电压为 uC′(t)=−u0(1−exp⁡(−tRC)) u_{C'}(t)=-u_0\left(1-\exp\left(-\frac{t}{RC}\right)\right)
        • 原电容 CC 是 C′C' 与 u0u_0 串联，则 uC(t)=u0exp⁡(−tRC) u_C(t)=u_0\exp\left(-\frac{t}{RC}\right) τ=RC \tau=RC
      • 电感
        • 设电感 LL 的初值为 i0=iL(0)i_0=i_L(0)，则可以等效为输入为 −i0-i_0 的零状态响应，则零初值电感电流为 iL′(t)=−i0(1−exp⁡(−tGL)) i_{L'}(t)=-i_0\left(1-\exp\left(-\frac{t}{GL}\right)\right)
        • 原电感 LL 是 L′L' 与 i0i_0 并联，则 iL(t)=i0exp⁡(−tGL) i_L(t)=i_0\exp\left(-\frac{t}{GL}\right) τ=RC \tau=RC
    • 总结
      • 动态元件时间常数零状态响应零输入响应全响应
        电容τ=RC\tau=RCuOC(1−exp⁡(−tRC))u_{\mathrm{OC}}\left(1-\exp\left(-\frac{t}{RC}\right)\right)u0exp⁡(−tRC)u_0\exp\left(-\frac{t}{RC}\right)uOC+(u0−uOC)exp⁡(−tRC)u_{\mathrm{OC}}+(u_0-u_{\mathrm{OC}})\exp\left(-\frac{t}{RC}\right)
        电感τ=GL\tau=GLiSC(1−exp⁡(−tGL))i_{\mathrm{SC}}\left(1-\exp\left(-\frac{t}{GL}\right)\right)i0exp⁡(−tGL)i_0\exp\left(-\frac{t}{GL}\right)iSC+(i0−iSC)exp⁡(−tGL)i_{\mathrm{SC}}+(i_0-i_{\mathrm{SC}})\exp\left(-\frac{t}{GL}\right)
    • 线性性质
      • 零状态响应满足线性性质，总的零状态响应可以看成多个零状态响应的线性组合。
      • 零状态响应可以按照多个源分别求解，在叠加为总的零状态响应，其中 τ\tau 不变。
      • 零输入响应具有比例性。
      • 从微分方程角度看，输入对应方程的非齐次项，状态对应初始条件，微分方程相加，解也可以相加，但初始条件不能相加
      • 全响应因此不具有线性性质。运用线性性质只能对一个源或动态元件自身状态。
  • 三要素法
    • 定义
      • 假设 t=0t=0 时电路从稳态进入瞬态，在 t→+∞t\to +\infty 时进入稳态。
      • 一阶电路中，任何位置的电流或电压都符合以下形式： y(t)=yp+yh=y(+∞)+(y(0+)−y(+∞))exp⁡(−tτ) y(t)=y_{\mathrm p}+y_{\mathrm h}=y(+\infty)+(y(0^+)-y(+\infty))\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)
      • 以上公式中，y(t)y(t) 是全响应，yp=y(+∞)y_{\mathrm p}=y(+\infty) 是稳态响应，yh=(y(0+)−y(+∞))exp⁡(−tτ)y_{\mathrm h}=(y(0^+)-y(+\infty))\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) 是瞬态响应。这是对全响应的第二种分解。
      • 求解变量只需要求出 y(0+),y(+∞),τy(0^+),y(+\infty),\tau 三要素，最后带入以上公式。
      • 三要素法适用于状态变量和非状态变量，也适用于任意位置的变量。
    • 方法
      • 求解分为四步，每一步都需要对电路进行等效。
        • t→0−t\to 0^-：求出状态变量 uC(0−),iL(0−)u_C(0^-),i_L(0^-)。
        • t→0+t\to 0^+：利用换路定律得到 uC(0+)=uC(0−),iL(0+)=iL(0−)u_C(0^+)=u_C(0^-),i_L(0^+)=i_L(0^-)，如果需要再求出其他 y(0+)y(0^+)。
        • t→+∞t\to +\infty：求出 y(+∞)y(+\infty)。
        • t>0t>0 时求 τ\tau：不用对动态元件进行等效，求出动态元件以外部分的等效电阻，求 τ\tau。
      • 不同动态元件的等效方法:
        动态元件t→0+t\to 0^+t→0−t\to 0^- 或 t→+∞t\to +\infty
        C,uC(0)=0C,u_C(0)=0短路开路
        C,uC(0)=u0≠0C,u_C(0)=u_0\ne 0u0u_0 电压源开路
        L,iL(0)=0L,i_L(0)=0开路短路
        L,iL(0)=i0≠0L,i_L(0)=i_0\ne 0i0i_0 电流源短路
    • 注意事项
      • 对于非状态变量，从稳态进入瞬态的时刻不保证连续，求解 y(0+)y(0^+) 只能通过 t→0+t\to 0^+ 的电路和 uC(0+),iL(0+)u_C(0^+),i_L(0^+)。
  • 激励函数
    • 单位阶跃函数
      • 单位阶跃函数定义为 ε(t)={0,t<01,t≥0 \varepsilon(t)=\left\{\begin{matrix}0, & t<0 \\1, & t\ge 0\end{matrix}\right.
      • 由此可以定义延时单位阶跃函数定义为 ε(t−t0)\varepsilon(t-t_0)。
      • 单位阶跃函数可以用于表示开关的闭合，USU_S 电压源在 t=0t=0 是接入电路，则可以表示为 us(t)=Usε(t)u_s(t)=U_s\varepsilon(t)。
    • 分段常量函数
      • 初值为 00（t→−∞t\to -\infty）、n+1n+1 段常量函数组成的分段函数可以用 nn 个（延时）单位阶跃函数相加表示： f(t)=∑i=1nAiε(t−ti) (ti≥0) f(t)=\sum_{i=1}^n A_i\varepsilon(t-t_i)\ (t_i\ge 0)
      • 对于以上函数，特别定义 tn+1=+∞t_{n+1}=+\infty，各点的函数值为 f(t)={0,t≤0∑i=1kAi,t∈[tk,tk+1) f(t)=\left\{\begin{matrix}0, & t\le 0\\\sum\limits_{i=1}^{k}A_i, & t\in[t_k,t_{k+1}) \\\end{matrix}\right.
      • 对于以分段常量函数作为激励的电路，求解变量有两种方法：
        • 使用状态输入分解法，对分段常量函数中的每一个单位阶跃函数求解零状态响应，求解元件的零输入响应，再相加，表示为 y(t)=∑i=1nKi(1−exp⁡(−tτ))ε(t−ti)+K0exp⁡(−tτ) (t≥0) y(t)=\sum_{i=1}^n K_i\left(1-\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right)\varepsilon(t-t_i)+K_0\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\ (t\ge 0)
        • 使用三要素法，求解每一段的初值和理论上的稳态值（即假设接下来不分段的稳态值），分段表示。
    • 单位冲激函数
      • 单位冲激函数定义为 δ(t)={+∞,t=00,t≠0  \delta(t)=\left\{\begin{matrix} +\infty, & t=0\\ 0, & t\ne 0\end{matrix}\right.\ 并且 ∫−∞+∞δ(t)dt=1 \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\mathrm dt=1
      • 可以定义单位冲激函数为 δ(t−t0)\delta(t-t_0)。
      • 单位冲激函数是单位阶跃函数的导数，即 δ(t)=dε(t)dt \delta(t)=\frac{\mathrm d\varepsilon(t)}{\mathrm dt}
      • 如果一个激励对应一个响应时，这个激励的导数就对应这个响应的导数。
      • 据此可以先求解 ε(t)\varepsilon(t) 对应的激励，再求导得到 δ(t)\delta(t) 对应的响应。
  • 正弦激励的全响应
    • 对于正弦激励的一阶电路，稳态响应和瞬态响应分别为 yp(t)=Ymcos⁡(ωt+φ) y_{\mathrm p}(t)=Y_m\cos(\omega t+\varphi) yh(t)=(y(0+)−yp(0+))exp⁡(−tτ) y_{\mathrm h}(t)=(y(0^+)-y_{\mathrm p}(0^+))\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)
    • 稳态响应使用相量求解。
等效电路二阶电路