电路基础

• 电路变量
  • 电流
    • 单位时间内通过导体横截面的电荷量定义为电流，用 $i$ 表示，即 $i=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dt}$
    • 习惯上把正电荷运动的方向规定为电流的方向。
    • 在电路中用箭头标注在线路上表示参考方向。
    • 数值上的符号表示电流的真实方向与参考方向的关系，正则相同，负则相反。
  • 电压
    • 电路中 $\text{a, b}$ 两点间单位正电荷由 $\text a$ 点转移到 $\text b$ 点时所获得或失去的能量定义为 $\text{a, b}$ 两点间的电压，用 $u$ 表示，即 $u=\frac{\mathrm dw}{\mathrm dq}$
    • 如果正电荷由 $\text a$ 转移到 $\text b$：
      • 获得能量，则电压降，$\text a$ 点为低电位，即负极，$\text b$ 点为高电位，即正极。
      • 失去能量，则电压升，$\text a$ 点为高电位，即正极，$\text b$ 点为低电位，即负极。
    • 在电路或元件两边标注正负号表示参考方向，正号表示高电位，负号表示低电位。
    • 数值上的符号表示电压的真实方向与参考方向的关系，正则相同，负则相反。
  • 功率
    • 电路中的某一段所吸收或提供能量的速率定义为功率。用 $p$ 表示， $p=\frac{\mathrm dw}{\mathrm dt}=ui$
    • 以上公式是在关联参考方向下成立的，如果电流和电压的真实方向相反，则用 $p=-ui$ 计算。
    • 数值上的正负表示吸收能量或释放能量，这与是否使用关联参考方向无关。
• 电路元件
  • 电阻
    • 如果一个二端元件在任何时刻电压 $u(t)$ 和电流 $i(t)$ 都可以由 $u-i$ 平面上的一条曲线确定，则这个元件称为电阻元件。
    • 如果满足以下关系，则电阻是线性时不变电阻： $u(t)=Ri(t)$
    • 由于电阻两边电压降方向必定是电流方向，则以上公式是在关联参考方向时成立的，如果不是，则要加负号。
    • 电阻也可以用电导表示，定义为 $G=\frac{1}{R}$
  • 电源
    • 电压源
      • 电压源，不论流过的电流为多少，其两端总能保持一定的电压。
      • 电压源用 $u_s$ 表示。
      • 经过电压源的电流方向不是固定的，因此电压源既可以提供能量，也可以吸收。
    • 电流源
      • 某种元件向外提供一定的电流而不论其两端的电压为多少，这种元件称为电流源。
      • 电流源用 $i_s$ 表示。
      • 电流源的电压方向不是固定的，因此电流源既可以提供能量，也可以吸收。
    • 受控源
      • 受控源是一种双口元件，分为输入端和输出端，输出端由输入端控制。
      • 输入和输出都可以是电压或电流，输入中有一个为 $0$，两两组合有四种：
        • VCVS：压控电压源，$i_1=0,u_2=\mu u_1$，$\mu$ 为转移电压比。
        • VCCS：压控电流源，$i_1=0,i_2=gu_1$，$\mu$ 为转移电阻。
        • CCVS：流控电压源，$u_1=0,u_2=ri_1$，$\mu$ 为转移电导。
        • CCCS：流控电流源，$u_1=0,i_2=\alpha i_1$，$\mu$ 为转移电流比。
      • 受控源的功率如下，这表明功率可以直接由受控支路计算： $p=u_1i_1+u_2i_2=u_2i_2$
  • 运算放大器 / 运放
    • 定义
      • 运放是一种集成元件，可以实现输入信号的增益。
      • 运放主要的端口有三个，同相输入端（$u_+,i_+$）、反相输入端（$u_-,i_-$），输出端（$u_{\mathrm o},i_{\mathrm o}$）。
      • 运放对差分电压进行增益并输出，即 $u_{\mathrm o}=A(u_+-u_-)$ 其中 $A$ 为电压放大倍数。
      • $u_+,u_-,u_{\mathrm o}$ 都是相对一个公共端（地）的节点电压。
    • 性质
      • 对于理想运放来说，$A=\infty,u_{\mathrm o}\ne\infty$。
      • 因此有以下两种性质：
        • 虚短路：$u_+=u_-$
        • 虚断路：$i_+=i_-=0$
      • 理想运放的 $i_{\mathrm o}$ 一般难以求解，并且理想运放不可以看作超节点，不可以对其应用 KCL 方程。
    • 含运放的电路分析
      • 如果运放不是理想运放，则按照含受控源的电路分析。以下讨论理想运放。
      • 含运放的电路适合使用节点分析法，分析时遵循以下原则：
        • 运放的输出端也是节点，也要设节点电压，但不要对该节点列 KCL 方程，因为运放的输出电流很难求解。
        • 运放的输入端的两个节点具有特殊性质：
          • 这两个节点电压相同，可以少列一个方程。
          • 不必在方程中加入输入运放的电流。
  • 电容
    • 定义
      • 如果一个二端元件在任何时刻电荷 $q(t)$ 和电压 $u(t)$ 都可以由 $q-u$ 平面上的一条曲线确定，则这个元件称为电容元件。
      • 如果满足以下关系，则电容是线性时不变电容： $q(t)=Cu(t)$
      • 电容是聚集电荷的元件，储存电场能。
    • 性质
      • VCR
        • 关联参考方向时的电容的 VCR 的微分形式： $i_C(t)=C\frac{\mathrm du_C(t)}{\mathrm dt}$
        • 积分形式： $u_C(t)=\int_{-\infty}^t i_C(\xi)\mathrm d\xi=u_C(t_0)+\int_{t_0}^t i_C(\xi)\mathrm d\xi$
      • 等效
        • 串联： $\frac{1}{C}=\sum_{i=1}^n\frac{1}{C_i}$
        • 并联： $C=\sum_{i=1}^n C_i$
      • 储能公式
        • $w(t)=\frac{1}{2}Cu_C^2(t)$
        • 电容储能只与当前时刻的电容电压有关，电容电压也是电容的状态变量。
      • 连续性
        • 在时间区间 $[t_1,t_2]$ 中，如果 $i_C(t)$ 有界，则 $u_C(t)$ 连续，不会发生突变。
        • $i_C(t)$ 没有连续性。
      • 记忆性
        • 电容电压包括了过去到现在所有电流的积分，即记忆了所有历史。
        • 求解电容电压需要一段时间内的电流的函数，以及初值条件。
  • 电感
    • 定义
      • 若线圈有 $n$ 匝，磁通量为 $\phi$，则定义线圈的磁链 $\varPsi$ 为 $\varPsi=n\phi$
      • 如果一个二端元件在任何时刻磁链 $\varPsi(t)$ 和电流 $i(t)$ 都可以由 $\varPsi-i$ 平面上的一条曲线确定，则这个元件称为电感元件。
      • 如果满足以下关系，则电感是线性时不变电感： $\varPsi(t)=Li(t)$
      • 电感是聚集磁链的元件，储存磁场能。
    • 性质
      • VCR
        • 关联参考方向时的电感的 VCR 的微分形式： $u_L(t)=L\frac{\mathrm di_L(t)}{\mathrm dt}$
        • 积分形式： $i_L(t)=\int_{-\infty}^t u_L(\xi)\mathrm d\xi=i_L(t_0)+\int_{t_0}^t u_L(\xi)\mathrm d\xi$
      • 等效
        • 串联： $L=\sum_{i=1}^n L_i$
        • 并联： $\frac{1}{L}=\sum_{i=1}^n\frac{1}{L_i}$
      • 储能公式
        • $w_L(t)=\frac{1}{2}Li_L^2(t)$
        • 电感储能只与当前时刻的电感电流有关，电感电流也是电感的状态变量。
      • 连续性
        • 在时间区间 $[t_1,t_2]$ 中，如果 $u_L(t)$ 有界，则 $i_L(t)$ 连续，不会发生突变。
        • $u_L(t)$ 没有连续性。
      • 记忆性
        • 类比电容的记忆性。
  • 耦合电感
    • 参考耦合电感。