耦合电感

• 耦合电感
  • 定义
    • 耦合电感又多个电感组合，一个电感的电流随时间变化，其他电感两端出现感应电压。
    • 耦合电感中出现的磁链包括自感磁链 $\varPsi_{L}$ 和互感磁链 $\varPsi_M$ ，对应产生自感电压 $u_L$ 和 互感电压 $u_M$ 。
    • 耦合电感的一边的电压是一边的 $u_L$ 和 $u_M$ 之和。
    • 电感之间，定义类似 $L$ 的 $M$ 。
    • 对于两个电感 $L_1,L_2$ 组成的耦合电感，各磁链为
      • $L_1$ 中 $i_1$ 产生的自感磁链： $\varPsi_{11}=N_1\phi_{11}=L_1i_1$
      • $L_2$ 中 $i_1$ 互感产生的磁链： $\varPsi_{21}=N_2\phi_{21}=Mi_1$
      • $L_1$ 中 $i_2$ 产生的互感磁链： $\varPsi_{12}=N_1\phi_{12}=Mi_2$
      • $L_2$ 中 $i_2$ 产生的自感磁链： $\varPsi_{22}=N_2\phi_{22}=L_2i_2$
  • 互感电压
    • 同名端是耦合电感的一个属性，用于确定一个电感的电流和另一个电感的互感电压的方向的关系。
    • 当电流从同名端流入时，互感电压的正极就在另一个电感的同名端。
    • 同名端在电路图中用一点标注在电感的一端。
    • 根据电流和互感电压的参考方向与对同名端是否一致：
      • 一致时：
        • 电流参考方向流入同名端且互感电压的参考正极在同名端
        • 电流参考方向流出同名端且互感电压的参考负极在同名端
        • 互感电压计算公式： $u_M=M\frac{\mathrm di}{\mathrm dt}$
      • 不一致时：
        • 电流参考方向流入同名端且互感电压的参考负极在同名端
        • 电流参考方向流出同名端且互感电压的参考正极在同名端
        • 互感电压计算公式： $u_M=-M\frac{\mathrm di}{\mathrm dt}$
    • 互感电压可以用附加的电压源代替，利用 $u_M$ 的计算公式，方向由同名端确定。
  • VCR
    • $u_1,u_2$ 分别表示 $L_1,L_2$ 两端电压，则
      • 时域形式： $\left\{\begin{matrix} u_1=L_1\frac{\mathrm di_1}{\mathrm dt}+M\frac{\mathrm di_2}{\mathrm dt}\\ u_2=L_2\frac{\mathrm di_2}{\mathrm dt}+M\frac{\mathrm di_1}{\mathrm dt}\\ \end{matrix}\right.$
      • 相量形式： $\left\{\begin{matrix} \dot{U}_1=\mathrm j\omega L_1\dot{I}_1+\mathrm j\omega M\dot{I}_2\\ \dot{U}_2=\mathrm j\omega L_2\dot{I}_2+\mathrm j\omega M\dot{I}_1\\ \end{matrix}\right.$
    • 自感电压前的符号由当前电感的电流与电感电压是否是关联参考方向决定。
    • 互感电压前的符号由其他电感的电流与当前电感的互感电压对同名端的方向决定。
  • 耦合系数
    • 一般情况下 $\phi_{11}\ge\phi_{21},\phi_{22}\ge\phi_{12}$。
    • 当 $\phi_{11}=\phi_{21},\phi_{22}=\phi_{12}$ 时，电流产生的磁通完全进入另外一个电感，此时有 $M_{\max}=\left[\sqrt{\left(\frac{N_2\phi_{21}}{i_1}\right)\left(\frac{N_1\phi_{12}}{i_2}\right)}\right]_{\max}=\sqrt{\left(\frac{N_1\phi_{11}}{i_1}\right)\left(\frac{N_2\phi_{22}}{i_2}\right)}=\sqrt{L_1L_2}$
    • 当 $M\le M_{\max}$ 时，定义耦合系数为 $k=\frac{M}{M_{\max}}=\frac{M}{\sqrt{L_1L_2}}$
    • $k=1$ 时为全耦合，$0.5\le k<1$ 时为紧耦合，$0<k<0.5$ 时为松耦合，$k=0$ 时为无耦合。
  • 储能
    • 耦合电感储能包括自感储能和互感储能：
      • $L_1$ 自感储能：$\frac{1}{2}\varPsi_{11}i_1=\frac{1}{2}L_1i_1^2$
      • $L_1$ 互感储能：$\pm\frac{1}{2}\varPsi_{12}i_1=\pm\frac{1}{2}(Mi_2)i_1$
      • $L_2$ 互感储能：$\pm\frac{1}{2}\varPsi_{21}i_2=\pm\frac{1}{2}(Mi_1)i_2$
      • $L_2$ 自感储能：$\frac{1}{2}\varPsi_{22}i_2=\frac{1}{2}L_2i_2^2$
    • 总储能： $w=\frac{1}{2}L_1i_1^2+\frac{1}{2}L_2i^2\pm Mi_1i_2$
    • 其中的正负由 $i_1,i_2$ 对同名端方向是否一致决定。
  • 串联
    • 串联是两个电感的各自的一端相接，整体剩下两个端。
    • 异名端相接为顺接串联，同名端相接为反接串联。
    • 等效电感为 $L=L_1+L_2\pm 2M$
    • 等效阻抗为 $Z=\mathrm j\omega(L_1+L_2\pm 2M)$
    • 顺接串联取正号，反接串联取负号。
• 空心变压器
  • 定义
    • 由两个电感组成的耦合电感并且无铁心的四端元件是空心变压器。
    • 电源一侧称为一级电路，负载一侧称为二级电路。
    • 一级电路为电压源 $u_s$、电阻 $R_1$、电感 $L_1$ 串联，二级电路为电感 $L_2$、电阻 $R_2$、负载电阻 $R_{\mathrm L}$ 组成。
  • 等效电路
    • 一级电路侧
      • 设一级电路的自阻抗 $Z_{11}=R_1+\mathrm j\omega L_1$，二级电路的自阻抗为 $Z_{22}=\mathrm j\omega L_2+R_2+R_{\mathrm L}$，互阻抗为 $\mathrm j\omega M$。
      • 从一级电路一侧看，等效输入阻抗为 $Z_{\mathrm i}=Z_{11}+\frac{\omega^2M^2}{Z_{22}}$
      • 其中后一项称为二级电路在一级电路中的反映阻抗，即二级电路可以等效为一级电路中的一个阻抗。
      • 一级电路的电流为 $\dot{I}_1=\frac{\dot{U}_s}{Z_{11}+\frac{\omega^2M^2}{Z_{22}}}$
      • 二级电路的电流为 $\dot{I_2}=\frac{\pm\mathrm j\omega M\dot{I}_1}{Z_{22}}$ 其中的正负号由同名端和参考方向确定。
    • 二级电路侧
      • 从二级电路侧看，将除去 $R_{\mathrm L}$ 的部分用戴维南定理等效。
      • 对于开路电压 $\dot{U}_{\mathrm{OC}}$，设 $I_{10}$ 为二级电路开路时一级电路电流，则 $\dot{U}_{\mathrm{OC}}=\mathrm j\omega M\dot{I}_{10}=\mathrm j\omega M\frac{\dot{U}_s}{Z_{11}}$
      • 等效电阻为 $Z_{\mathrm o}=Z_{22}+\frac{\omega^2M^2}{Z_{11}}$
      • 其中后一项称为一级电路在二级电路中的反映阻抗。
      • 注意 $\dot{U}_{\mathrm{OC}}$ 的方向一般与同名端一致，而与二级电路电流不一定一致。
• 耦合电感的去耦等效电路
  • 对于有两端连在同一根导线上的耦合电感电路，可以用连成 T 形的三个电感等效。
  • 设一级电路一侧的等效电感为 $L_a$，二级一侧为 $L_c$，中间的为 $L_b$。
  • 当同名端相连时，$L_a=L_1-M,L_b=M,L_c=L_2-M$。
  • 当异名端相连时，$L_a=L_1+M,L_b=-M,L_c=L_2+M$。
• 理想变压器
  • 定义
    • 理想变压器是电感趋于无穷、全耦合的变压器。
    • 理想变压器的参数只有匝数比 / 变比 $n$，是二级和一级的匝数的比值。
    • 理想变压器瞬时功率为零。
  • VCR
    • $\left\{\begin{matrix} u_2=\pm nu_1\\ i_2=\pm\frac{1}{n}i_1 \end{matrix}\right.$
    • 两侧电压方向与同名端一致时，电压关系取正号。
    • 两侧电流都流入同名端时，电流关系取负号。
  • 等效电路 / 阻抗变换
    • 设二级电路的阻抗为 $Z_2$，则二级电路的等效阻抗为 $Z_{\mathrm i}=\frac{1}{n^2}Z_2$
    • 反之设一级电路的阻抗为 $Z_1$，则一级电路的等效阻抗为 $Z_{\mathrm o}=n^2 Z_1$