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物理
力学
功和能

功和能

  • 功
    • 定义
      • F\boldsymbol F 作用于物体，沿 LL 运动，一般的定义为 W=∫LF⋅dr W=\int_L\boldsymbol F\cdot\mathrm d\boldsymbol r
      • 直角坐标系中，可以写成 W=∫LFxdx+Fydy+Fzdz W=\int_L F_x\mathrm dx+F_y\mathrm dy+F_z\mathrm dz
    • 性质
      • 分力做功
        • 多个力沿同一路径对同一个质点做的功等于合力的功： W=∫LF⋅dr=∑i=1n∫LFi⋅dr W=\int_L \boldsymbol F\cdot\mathrm d\boldsymbol r=\sum_{i=1}{n}\int_L \boldsymbol F_i\cdot\mathrm d\boldsymbol r
      • 一对力做功
        • 一对力 F1,F2 (F1=−F2)\boldsymbol F_1,\boldsymbol F_2\ (\boldsymbol F_1=-\boldsymbol F_2) 分别沿 L1L_1 和 L2L_2 对质点 11 和 22 做功。
        • 设 AA 表示初态，此时质点 11 和 22 分别位于 L1L_1 和 L2L_2，同理设 BB 表示末态，质点在终点。
        • 则一对力做的功为 W=∫ABF1⋅dr12=∫ABF2⋅dr21 W=\int_A^B\boldsymbol F_1\cdot\mathrm d\boldsymbol r_{12}=\int_A^B\boldsymbol F_2\cdot\mathrm d\boldsymbol r_{21}
        • dr12,dr21\mathrm d\boldsymbol r_{12},\mathrm d\boldsymbol r_{21} 分别表示质点 11 对 22 和 22 对 11 的相对位移。
  • 功率
    • 功率定义为 P=dWdt P=\frac{\mathrm dW}{\mathrm dt}
    • 利用 dW=F⋅dr\mathrm dW=\boldsymbol F\cdot\mathrm d\boldsymbol r 可以得到 P=F⋅drdt=F⋅v P=\frac{\boldsymbol F\cdot\mathrm d\boldsymbol r}{\mathrm dt}=\boldsymbol F\cdot\boldsymbol v
  • 动能
    • 定义
      • 定义质点的动能为 Ek=12mv2 E_{\mathrm k}=\frac{1}{2}mv^2
      • 相对不同参考系，动能也会不同。
      • 质点系的动能为各质点的动能之和，也等于质心的动能与各质点在质心系中的动能之和，即 Ek=∑i=1n12mivi2=12mvC2∑i=1n12miviC2 E_{\mathrm k}=\sum_{i=1}^n\frac{1}{2}m_iv_i^2=\frac{1}{2}mv_C^2\sum_{i=1}^n\frac{1}{2}m_iv_{iC}^2 后一个等式是柯尼希定理。
    • 动能定理
      • 质点的动能定理描述合力做功与动能的关系： W=Ekb−Eka W=E_{\mathrm kb}-E_{\mathrm ka}
      • 质点系的动能定理： Wouter+Winner=Ekb−Eka W_{\mathrm{outer}}+W_{\mathrm{inner}}=E_{\mathrm kb}-E_{\mathrm ka}
      • 质点系的动能定理不能忘记内力做功。
      • 动能定理只适用于惯性系。
  • 保守力与势能
    • 定义
      • 如果 F\boldsymbol F 做功与路径无关，只与起点和终点有关，则 F\boldsymbol F 是保守力。
      • 保守力的等价的定义是 F\boldsymbol F 沿任意闭合路径做功为 00，即 W=∮LF⋅dr=0 W=\oint_L\boldsymbol F\cdot\mathrm d\boldsymbol r=0
      • 对于保守力，可以对空间中的每个位置定义与力相对应的势能 EpE_{\mathrm p}，满足 WAB=EpA−EpB=−ΔEp W_{AB}=E_{\mathrm pA}-E_{\mathrm pB}=-\Delta E_{\mathrm p}
      • 或者力与势能的满足以下关系： F=−∇Ep \boldsymbol F=-\nabla E_{\mathrm p}
      • 以上是势能的差的关系，一般还需要在空间中选定一个点作为势能零点（假设为 OO）。
      • 任意点的势能定义为质点从任意的移动到势能零点时力做的功，即 EpA=EpA−EpO=WAO E_{\mathrm pA}=E_{\mathrm pA}-E_{\mathrm pO}=W_{AO}
    • 常见力的势能
      • 万有引力势能
        • 两个质点 m1,m2m_1,m_2 组成系统，相距 rr。
        • 规定两个质点相距无穷远时，万有引力势能为 00。
        • 此时万有引力势能为 Ep=−Gm1m2r E_{\mathrm p}=-\frac{Gm_1m_2}{r}
      • 重力势能
        • 已知质点 mm 距离地面 hh。
        • 一般选取地面为势能零点。
        • 此时重力势能为 Ep=mgh E_{\mathrm p}=mgh
      • 弹簧的弹性势能
        • 已知弹簧的弹性系数为 kk，伸长量为 xx。
        • 规定弹簧处于原长时弹性势能为 00。
        • 此时弹簧的弹性势能为 Ep=12kx2 E_{\mathrm p}=\frac{1}{2}kx^2
    • 势能零点的变换
      • 设势能零点为 OO，质点 A,BA,B 以 OO 为势能零点的势能为 EpAO,EpBOE_{\mathrm pAO},E_{\mathrm pBO}。
      • 变换 BB 为势能零点，则 AA 以 BB 为势能零点的势能为 EpAB=EpAO−EpBO E_{\mathrm pAB}=E_{\mathrm pAO}-E_{\mathrm pBO}
牛顿运动定律刚体的定轴转动