刚体的定轴转动

• 转动惯量
  • 定义
    • 转动惯量衡量刚体绕某一轴转动的惯性大小。
    • 转动惯量定义为 $J=\iiint_V r^2\mathrm dm$
    • 其中 $r$ 为 $\mathrm dm$ 到轴的距离。
    • 转动惯量的单位为 $\mathrm{kg\cdot m^2}$。
  • 常见刚体的转动惯量
    • 对于质量分布均匀的物体，有以下的转动惯量：

      刚体	大小	转轴	转动惯量
      细杠	长为 $L$	过杠的一端且与杠垂直	$\frac{1}{3}mL^2$
      细杠	长为 $L$	过杠的中点且与杠垂直	$\frac{1}{12}mL^2$
      圆环	半径为 $R$	过圆环的中心且与平面垂直	$mR^2$
      圆环	半径为 $R$	过圆环的直径	$\frac{1}{2}mR^2$
      圆盘	半径为 $R$	过圆盘的中心且与平面垂直	$\frac{1}{2}mR^2$
      圆盘	半径为 $R$	过圆盘的直径	$\frac{1}{4}mR^2$
      薄球壳	半径为 $R$	过球壳的直径	$\frac{2}{3}mR^2$
      球体	半径为 $R$	过球体的直径	$\frac{2}{5}mR^2$

  • 定理
    • 叠加
      • 物体的转动惯量等于多个部分的转动惯量相加。
    • 平行轴定理
      • 刚体绕某一过质心的轴的转动惯量为 $J_C$，则绕任意平行该轴、距离为 $d$ 的轴的转动惯量为 $J=J_c+md^2$
    • 垂直轴定理
      • 对于薄板型刚体，$z$ 轴垂直其平面，$x,y$ 轴在其平面内且相互垂直，则 $J_z=J_x+J_y$
• 转动参量
  • 角位置
    • 在转动平面内从转轴上一点 $O$ 引一条固定的射线，规定为 $x$ 轴。
    • 在同一平面上取另一点 $P$，定义角位置为 $OP$ 与 $x$ 轴的夹角，单位为弧度。
    • 角位置可以代表整个刚体，而不是一个点。
  • 角速度
    • 参考角速度，不同之处在于此处的角速度是刚体的角速度。
    • 角速度此时是矢量，方向使用右手螺旋定则判定。
  • 角加速度
    • 参考角加速度，与角速度同理。
  • 角动量
    • 参考角动量。
    • 刚体中，角动量与动量形式上更类似，表示为 $\boldsymbol L=J\boldsymbol\omega$
• 刚体定轴转动定理
  • 定轴转动中，只需要考虑绕轴的转动，不沿轴方向的分量都可以不考虑。
  • $M=J\alpha$
  • 其中 $M$ 是沿定轴方向的合外力矩。
• 定轴转动角动量定理
  • $\int_{t_1}^{t_2}M\mathrm dt=L_2-L_1=J_2\omega_2-J_1\omega_1$
  • 注意到这个定理只要求在 $t_1$ 和 $t_2$ 时物体是刚体，前后转动惯量也可以发生变化。
  • 如果 $M=0$，则有定轴转动角动量守恒定律。
• 定轴转动的功和能
  • 功和功率
    • 力矩做的功为 $W=\int_{\theta_1}^{\theta_2}M\mathrm d\theta$
    • 可以得到功率为 $P=\frac{\mathrm dW}{\mathrm dt}=M\omega$
  • 动能
    • 刚体的转动动能为 $E_{\mathrm k}=\frac{1}{2}J\omega^2$
    • 对于刚体整体的动能，有两种方法计算：
      • 如果可以找到刚体绕某一个固定轴转动，且刚体本身不自转，则动能等于绕该轴的转动动能。
      • 利用柯尼希定理，即 $E_{\mathrm k}=\frac{1}{2}mv_C^2+\frac{1}{2}J_C\omega_C^2$
  • 重力势能
    • 重力势能利用质心计算，即 $E_{\mathrm p}=mgh_C$
  • 动能定理
    • $W_{\mathrm{outer}}=\frac{1}{2}J\omega_2^2-\frac{1}{2}J\omega_1^2$
    • 运用定轴转动动能定理，刚体不能变形，否则有内力做功。
    • 只适用于定轴转动。