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物理
力学
质点运动学

质点运动学

  • 运动参量
    • 位置矢量
      • 定义
        • 选定坐标系后，从坐标系原点向质点的向量称为位置矢量，记作 r\boldsymbol r，单位为 m\text m。
        • 记 r=∣r∣r=|\boldsymbol r|。
      • 表示
        • 在空间直角坐标系中，质点在 (x,y,z)(x,y,z)，则 r=xi+yj+zk \boldsymbol r=x\boldsymbol i+y\boldsymbol j+z\boldsymbol k r=x2+y2+z2 r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
        • 在极坐标系中，质点在 (r,θ)(r,\theta)，则 r=rer \boldsymbol r=r\boldsymbol e_r 其中 er\boldsymbol e_r 与极轴夹角为 θ\theta。
        • 一般还会定义 eθ\boldsymbol e_\theta，其方向为 θ\theta 增加的方向，与 er\boldsymbol e_r 垂直。
        • er,eθ\boldsymbol e_r,\boldsymbol e_\theta 会随着 θ\theta 的变化而改变方向。
      • 位移矢量
        • 在 Δt\Delta t 时间内，位置矢量的变化量称为位移矢量，定义为 Δr=r(t+Δt)−r(t) \Delta\boldsymbol r=\boldsymbol r(t+\Delta t)-\boldsymbol r(t)
        • 位移矢量大小为 ∣Δr∣|\Delta\boldsymbol r|。
        • 而这需要与位置矢量大小的变化量 Δr\Delta r 区分，即 Δr=r(t+Δt)−r(t)=∣r(t+Δt)∣−∣r(t)∣ \Delta r=r(t+\Delta t)-r(t)=|\boldsymbol r(t+\Delta t)|-|\boldsymbol r(t)|
      • 路程
        • 质点在空间中运动的实际路径的长度称为路程，记作 Δs\Delta s。
        • 在 dt\mathrm dt 内，ds=∣dr∣\mathrm ds=|\mathrm d\boldsymbol r|。
    • 速度
      • 平均速度
        • 质点在 Δt\Delta t 内发生位移 Δr\Delta\boldsymbol r，定义平均速度为 vˉ=ΔrΔt \bar{\boldsymbol v}=\frac{\Delta\boldsymbol r}{\Delta t}
        • 平均速度单位为 m/s\text{m/s}。
        • 平均速度大小为 ∣vˉ∣=∣Δr∣Δt |\bar{\boldsymbol v}|=\frac{|\Delta\boldsymbol r|}{\Delta t} 注意与 Δr\Delta r 区别。
        • 平均速度方向与位移相同。
      • 速度 / 瞬时速度
        • 质点在无限小时间间隔内发生位移，平均速度则为瞬时速度，即 v=lim⁡Δt→0vˉ=lim⁡Δt→0ΔrΔt=drdt \boldsymbol v=\lim_{\Delta t\to 0}\bar{\boldsymbol v}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\boldsymbol r}{\Delta t}=\frac{\mathrm d\boldsymbol r}{\mathrm dt}
        • 速度单位为 m/s\text{m/s}。
        • 速度大小定义为速率： v=∣v∣=∣drdt∣=∣dsdt∣ v=|\boldsymbol v|=\left|\frac{\mathrm d\boldsymbol r}{\mathrm dt}\right|=\left|\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}\right|
        • 速度方向为位移矢量的轨迹的切线方向。
        • 空间直角坐标系中，速度表示为 v=vxi+vyj+vzk=dxdti+dydtj+dzdtk \boldsymbol v=v_x\boldsymbol i+v_y\boldsymbol j+v_z\boldsymbol k=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\boldsymbol i+\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\boldsymbol j+\frac{\mathrm dz}{\mathrm dt}\boldsymbol k v=vx2+vy2+vz2 v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}
        • 极坐标系中，速度表示为 v=d(rer)dt=drdter+rderdt=drdter+rdθdteθ \boldsymbol v=\frac{\mathrm d(r\boldsymbol e_r)}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}\boldsymbol e_r+r\frac{\mathrm d\boldsymbol e_r}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}\boldsymbol e_r+r\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}\boldsymbol e_\theta v=(drdt)2+r2(dθdt)2 v=\sqrt{\left(\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}\right)^2+r^2\left(\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}\right)^2}
        • 由于 er,eθ\boldsymbol e_r,\boldsymbol e_\theta 会改变方向，所以以上公式的最后一步需要 derdt=dθdteθ \frac{\mathrm d\boldsymbol e_r}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}\boldsymbol e_\theta deθdt=−dθdter \frac{\mathrm d\boldsymbol e_\theta}{\mathrm dt}=-\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}\boldsymbol e_r
    • 加速度
      • 平均加速度
        • 质点在 Δt\Delta t 内速度变化 Δv\Delta\boldsymbol v，定义平均加速度为 aˉ=ΔvΔt \bar{\boldsymbol a}=\frac{\Delta\boldsymbol v}{\Delta t}
        • 平均加速度单位为 m/s2\mathrm{m/s^2}。
      • 加速度 / 瞬时加速度
        • 质点在无限小时间间隔内速度变化，定义加速度为 a=dvdt \boldsymbol a=\frac{\mathrm d\boldsymbol v}{\mathrm dt}
        • 空间直角坐标系中，加速度表示为 a=axi+ayj+azk=d2xdt2i+d2ydt2j+d2zdt2k \boldsymbol a=a_x\boldsymbol i+a_y\boldsymbol j+a_z\boldsymbol k=\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}\boldsymbol i+\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dt^2}\boldsymbol j+\frac{\mathrm d^2z}{\mathrm dt^2}\boldsymbol k
        • 极坐标系中，速度表示为 a=dvdt=ddt(drdter+rdθdteθ)=[d2rdt2−r(dθdt)2]er+(rd2θdt2+2drdtdθdt)eθ \boldsymbol a=\frac{\mathrm d\boldsymbol v}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}\boldsymbol e_r+r\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}\boldsymbol e_\theta\right)=\left[\frac{\mathrm d^2r}{\mathrm dt^2}-r\left(\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}\right)^2\right]\boldsymbol e_r+\left(r\frac{\mathrm d^2\theta}{\mathrm dt^2}+2\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}\right)\boldsymbol e_\theta
    • 角速度
      • 设某个质点沿圆心位于 OO 点、半径为 RR 的圆周做运动，定义角速度为 ω=lim⁡Δt→0ΔθΔt=dθdt \omega=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}
      • 角速度为 rad/s\mathrm{rad/s} 或 s−1\mathrm{s^{-1}}。
      • 一般称圆周运动中的速度 v\boldsymbol v 为线速度，角速度与线速度大小有如下关系： v=Rω v=R\omega
    • 角加速度
      • 角加速度描述角速度变化快慢，定义为 α=lim⁡Δt→0ΔωΔt=dωdt \alpha=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dt}
  • 相对运动
    • 质点 PP 相对 SS 有 rPS,vPS,aPS\boldsymbol r_{PS},\boldsymbol v_{PS},\boldsymbol a_{PS}，相对 S′S' 有 rPS′,vPS′,aPS′\boldsymbol r_{PS'},\boldsymbol v_{PS'},\boldsymbol a_{PS'}，S′S' 相对 SS 有 rS′S,vS′S,aS′S\boldsymbol r_{S'S},\boldsymbol v_{S'S},\boldsymbol a_{S'S}，则 rPS=rPS′+rS′S \boldsymbol r_{PS}=\boldsymbol r_{PS'}+\boldsymbol r_{S'S} vPS=vPS′+vS′S \boldsymbol v_{PS}=\boldsymbol v_{PS'}+\boldsymbol v_{S'S} aPS=aPS′+aS′S \boldsymbol a_{PS}=\boldsymbol a_{PS'}+\boldsymbol a_{S'S}
  • 圆周运动
    • 圆周运动的加速度一般分解为两个方向：
      • 切向加速度： at=dvdt=Rα a_{\mathrm t}=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=R\alpha
      • 法向加速度： an=v2R=Rω2=ωv a_{\mathrm n}=\frac{v^2}{R}=R\omega^2=\omega v
    • 加速度大小为 ∣a∣=at2+an2 |\boldsymbol a|=\sqrt{a_{\mathrm t}^2+a_{\mathrm n}^2}
    • 对于一般曲线运动，则把半径换为曲率半径。
质点系和质心动量和角动量