随机变量的数字特征

• 期望
  • 定义
    • 对离散型随机变量 $X$，如果 $\displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty} x_i p_i$ 绝对收敛，则该级数为其期望 $E(X)$。
    • 对离散型随机变量 $X$，如果 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)\mathrm dx$ 绝对收敛，则该定积分为其期望 $E(X)$。
    • 期望不是随机变量，是 $X$ 的数字特征。
  • 性质
    • 已知 $X,Y=g(X)$，则 $E(Y) = E(g(X)) =\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) \mathrm dx$。
    • 已知 $(X,Y),Z=g(X,Y)$，则 $E(Z) = E(g(X,Y)) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} g(x,y) f(x,y) \mathrm dx\mathrm dy$。
    • $E(aX+b) = a E(X)+b$
    • $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$
    • $X,Y$ 独立时，$E(XY) = E(X)E(Y)$
  • 常用期望
    • $X \sim b(n,p)$：$E(X) = np$
    • $X \sim \pi(\lambda)$：$E(X) = \lambda$
    • $X \sim G(p)$：$E(X) = \dfrac{1}{p}$
    • $X \sim U(a,b)$：$E(X) = \dfrac{a+b}{2}$
    • $X \sim E(\lambda)$：$E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$
    • $X \sim N(\mu,\sigma^2)$： $E(X) = \mu$
• 方差
  • 定义
    • 已知随机变量，若 $E((X-E(X))^2)$ 存在，则其为方差 $D(X)$。
    • $D(X)=E(X^2)-E^2(X)$。
  • 常用方差
    • $X \sim b(n,p)$：$D(X) = np(1-p)$
    • $X \sim \pi(\lambda)$：$D(X) = \lambda$
    • $X \sim G(p)$：$D(X) = \dfrac{1-p}{p^2}$
    • $X \sim U(a,b)$：$D(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}$
    • $X \sim E(\lambda)$：$D(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}$
    • $X \sim N(\mu,\sigma^2)$： $D(X) = \sigma^2$
• 协方差
  • 定义
    • $(X,Y)$ 为二维随机变量，若 $E((X - E(X))(Y-E(Y)))$，则其为 $X$ 和 $Y$ 的协方差 $Cov(X,Y)$。
    • 如果 $Cov(X,Y)=0$，则 $X$ 和 $Y$ 不相关，否则相关。
  • 性质
    • 如果 $X,Y$ 独立，则 $X,Y$ 不相关。反之不一定。
    • $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$
    • $D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$
    • $Cov^2(X,Y) \le D(X)D(Y)$，$X,Y$ 有严格线性关系时取等。