向量空间

• 向量空间
  • 定义
    • 设 $V$ 是 $\mathrm F^n$ 的非空子集，如果 $V$ 满足以下条件，则 $V$ 是 $\mathrm F$ 上的向量空间：
      • 对 $\forall \boldsymbol a,\boldsymbol b\in V$，都有 $\boldsymbol a+\boldsymbol b\in V$
      • 对 $\forall \boldsymbol a\in V,k\in F$，都有 $k\boldsymbol a\in V$
    • 从定义可以看出，向量空间中向量线性运算都是封闭的。
  • 性质
    • 零向量在任何向量空间中。
    • 只有零向量的集合也是向量空间。
    • 向量空间的交空间、和空间也是向量空间。但并空间不一定是是向量空间。
  • 关系
    • 正交
      • 设 $V,W$ 是 $\mathrm F^n$ 的两个子空间，若对于 $\forall \boldsymbol a\in V,\boldsymbol b\in W$，都有 $\boldsymbol a\perp\boldsymbol b$，则 $V$ 与 $W$ 正交。
      • $V\cap W=\{0\}$
      • $\dim V+\dim W=\dim (V+W)$
• 基
  • 定义
    • 设 $\mathrm F^n$ 的非空子集 $V$ 是 $\mathrm F$ 上的向量空间。如果 $V$ 中的向量组 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_m$ 满足以下两个条件，则 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_m$ 是 $V$ 的一个基：
      • $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_m$ 线性无关；
      • $V$ 中的任何向量都可以由 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_m$ 线性表示。
    • 定义 $V$ 的基的向量个数为 $V$ 的维数，记作 $\dim V$。
    • $\{\boldsymbol 0\}$ 没有基，所以 $\dim\{\boldsymbol 0\}=0$。
    • 如果基中的向量两两正交，则称这个基为正交基。
    • 如果正交基中的向量的长度均为 $1$，则称这个基为规范正交基。
  • 性质
    • 如果 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_m$ 是 $V$ 的基，则 $V=\operatorname{span}(\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_m)$。
    • 对于 $\mathrm F$ 上的向量空间 $V$ 和向量组 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_s\in V$，都有 $r(\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_s)\le \dim V$。
    • $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_s\in \mathrm F^n$，则 $\dim\operatorname{span}(\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_s)=r(\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_s)\le\min\{n,s\}$。
    • 如果 $s<m$，则 $m$ 维向量空间 $V$ 中的任意 $s$ 个线性无关向量的组成的向量组 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_s$ 都可以扩充为 $V$ 一个基。
  • 过渡矩阵
    • 定义
      • 设 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_m$ 和 $\boldsymbol b_1,\boldsymbol b_2,\dots,\boldsymbol b_m$ 是 $m$ 维向量空间中的两个基，则两个基中的向量都可以由另一个基线性表示。
      • 若 $\begin{bmatrix}\boldsymbol b_1 & \boldsymbol b_2 & \cdots & \boldsymbol b_m\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol a_1 & \boldsymbol a_2 & \cdots & \boldsymbol a_m\end{bmatrix}C_{m\times m}$，则称 $C$ 为基 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_m$ 到基 $\boldsymbol b_1,\boldsymbol b_2,\dots,\boldsymbol b_m$ 的过渡矩阵。
        • 这个公式被称为基变换公式。
    • 性质
      • 过渡矩阵是唯一的。
      • 过渡矩阵是可逆的，其逆矩阵就是反方向的过渡矩阵。
      • $C$ 的第 $i$ 列是 $b_i$ 的线性组合系数。
  • 坐标
    • 定义
      • 设 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_m$ 是 $m$ 维向量空间 $V$ 中的基，$\boldsymbol x\in V$，则 $x=\begin{bmatrix}\boldsymbol a_1 & \boldsymbol a_2 & \dots & \boldsymbol a_m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol c_1 \\ \boldsymbol c_2 \\ \vdots \\ \boldsymbol c_m\end{bmatrix}=A\boldsymbol c$，则 $\boldsymbol c$ 是 $\boldsymbol x$ 关于 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_m$ 的坐标。
      • 坐标实际上就是线性组合系数。
    • 性质
      • 向量关于一个基的坐标是唯一的。
      • 坐标是 $m$ 元向量，但不一定是 $V$ 中向量的元数 $n$，对于所有情况，$n\ge m$。
      • 设 $x$ 关于 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_m$ 的坐标是 $\boldsymbol c_1$，关于 $\boldsymbol b_1,\boldsymbol b_2,\dots,\boldsymbol b_m$ 的坐标是 $\boldsymbol c_2$，$C$ 为 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_m$ 到 $\boldsymbol b_1,\boldsymbol b_2,\dots,\boldsymbol b_m$ 的过渡矩阵，则 $\boldsymbol c_2=C^{-1}\boldsymbol c_1$。
        • 这个公式被称为坐标变换公式。
• 典型向量空间
  • 生成子空间
    • 定义
      • 由向量组 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_s\in V$ 的所有线性组合组成的集合构成 $V$ 的子空间，称为 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_s$ 生成 $V$ 的子空间，记作 $\operatorname{span}(\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_s)$ 或 $L(\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_s)$。
    • 性质
      • $\operatorname{span}(\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_s)=\operatorname{span}(\boldsymbol b_1,\boldsymbol b_2,\dots,\boldsymbol b_t) \iff \{\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_s\}\cong\{\boldsymbol b_1,\boldsymbol b_2,\dots,\boldsymbol b_t\}$
  • 列空间
    • 定义
      • 由 $m\times n$ 矩阵 $A$ 的列生成的子空间，称为 $A$ 的列空间，记作 $C(A)$。
    • 性质
      • $A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ 有解 $\iff \boldsymbol b \in C(A)$
      • $\dim C(A)=r(A)$
      • 初等列变换不改变列空间，但初等行变换改变。
  • 零空间
    • 定义
      • 对 $m\times n$ 矩阵 $A$，$A\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 的所有解构成的集合称为零空间，记作 $N(A)$。
    • 性质
      • $A\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 无非零解 $\iff N(A)=\{\boldsymbol 0\}$
      • $\dim N(A)=n-r(A)$
      • 初等行变换不改变零空间。
  • 行空间
    • 定义
      • 由 $m\times n$ 矩阵 $A$ 的行生成的子空间，称为 $A$ 的列空间，记作 $C(A^{\mathrm T})$。
    • 性质
      • $A$ 的行空间就是 $A^{\mathrm T}$ 的列空间。
      • $\dim C(A^{\mathrm T})=r(A)$
      • 初等行变换不改变行空间。
      • $C(A^{\mathrm T})$ 与 $N(A)$ 正交，$C(A^{\mathrm T})+N(A)=\mathrm F^n$。