向量

• 向量
  • 定义
    • 设有 $n$ 个数 $a_1,a_2,\cdots,a_n \in F$，列矩阵 $\begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ \vdots\\a_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n\end{bmatrix}^{\mathrm T}$ 为 $F$ 上的 $n$ 元向量，$a_i$ 是其第 $i$ 个分量。
    • 记零向量为 $\boldsymbol 0=\begin{bmatrix}0 \\0 \\\vdots \\0\end{bmatrix}$。
  • 运算
    • 加法
      • 设 $\boldsymbol a=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n\end{bmatrix}^{\mathrm T}\in \mathrm F^n,\boldsymbol b=\begin{bmatrix} b_1 & b_2 & \cdots & b_n\end{bmatrix}^{\mathrm T}\in \mathrm F^n$，则 $\boldsymbol a+\boldsymbol b=\begin{bmatrix} a_1+b_1 & a_2+b_2 & \cdots & a_n+b_n\end{bmatrix}^{\mathrm T}$。
    • 数乘
      • 设 $\boldsymbol a=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n\end{bmatrix}^{\mathrm T}\in \mathrm F^n,k\in \mathrm F$，则 $k\boldsymbol a=\begin{bmatrix} ka_1 & ka_2 & \cdots & ka_n\end{bmatrix}^{\mathrm T}$。
    • 内积
      • 设 $\boldsymbol a=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n\end{bmatrix}^{\mathrm T}\in \mathrm F^n,\boldsymbol b=\begin{bmatrix} b_1 & b_2 & \cdots & b_n\end{bmatrix}^{\mathrm T}\in \mathrm F^n$，则 $\boldsymbol a$ 与 $\boldsymbol b$ 的内积为 $a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n=\boldsymbol a^{\mathrm T}\boldsymbol b=\boldsymbol b^{\mathrm T}\boldsymbol a$。
      • 定义 $\boldsymbol a$ 的长度为 $\|a\|=\sqrt{\boldsymbol a^{\mathrm T}\boldsymbol a}$。
    • 极限
      • 对于向量序列 $\{\boldsymbol x_n\}$，如果 $\lim\limits_{n \to +\infty} ||\boldsymbol x_n - \boldsymbol x|| = 0$，则 $\boldsymbol x_n$ 收敛于 $\boldsymbol x$，记作 $\lim\limits_{n \to +\infty} \boldsymbol x_n = \boldsymbol x$。
      • 此处范数种类任意。
      • $\lim\limits_{n \to +\infty} \boldsymbol x_n = \boldsymbol x \iff$ $\boldsymbol x_n$ 各分量收敛于 $\boldsymbol x$ 各分量。
  • 关系
    • 正交
      • 若 $\boldsymbol a^{\mathrm T}\boldsymbol b=0$，则 $\boldsymbol a$ 与 $\boldsymbol b$ 正交，记作 $\boldsymbol a\perp\boldsymbol b$。
• 向量组
  • 定义
    • $\mathrm F$ 上的向量空间 $V$ 上的若干个向量 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_t$ 称为 $V$ 上的一个向量组。
    • 向量组中的向量应当属于同一个向量空间。
    • 向量组中的向量是有序的。
  • 关系
    • 线性表示
      • 如果向量组 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_s$ 中的每一个向量都可以由向量组 $\boldsymbol b_1,\boldsymbol b_2,\dots,\boldsymbol b_t$ 线性表示，则向量组 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_s$ 可以由向量组 $\boldsymbol b_1,\boldsymbol b_2,\dots,\boldsymbol b_t$ 线性表示。
    • 等价
      • 如果向量组 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_s$ 和向量组 $\boldsymbol b_1,\boldsymbol b_2,\dots,\boldsymbol b_t$ 可以互相线性表示，则两个向量组等价，记作 $\{\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_s\}\cong\{\boldsymbol b_1,\boldsymbol b_2,\dots,\boldsymbol b_t\}$。
  • 运算
    • 线性组合
      • 对于向量组 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_t$ 和 $k_1,k_2,\dots,k_t\in\mathrm F$，$k_1\boldsymbol a_1+k_2\boldsymbol a_2+\cdots+k_t\boldsymbol a_t$ 称为 向量组 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_t$ 的线性组合。
      • 如果一个向量是一个向量组的线性组合，则称这个向量可以被这个向量组线性表示。
    • 线性无关与线性相关
      • 定义
        • 对于向量组 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_t$ 和 $k_1,k_2,\dots,k_t\in\mathrm F$，如果其线性组合 $k_1\boldsymbol a_1+k_2\boldsymbol a_2+\cdots+k_t\boldsymbol a_t=0$ 当且仅当 $k_1=k_2=\cdots=k_t=0$，则该向量组线性无关，反之该向量组线性相关。
      • 性质
        • 如果向量组线性无关，则其中的每一个向量都不能被其他向量线性表示。如果向量组线性相关，则其中存在一个向量都可以被其他向量线性表示。
        • 如果向量组 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_t$ 线性无关，向量组 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_t,\boldsymbol b$ 线性相关，则 $\boldsymbol b$ 可以被 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_t$ 线性表示，并且表示方式唯一。
    • 极大无关组与秩
      • 定义
        • 设向量组 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_t$，$\boldsymbol a_{i_1},\boldsymbol a_{i_2},\dots,\boldsymbol a_{i_r}$ 是前者当中的部分向量构成的向量组。如果这个向量组线性无关，且如果再加入原向量组中的其他向量后会使其线性相关，则称 $\boldsymbol a_{i_1},\boldsymbol a_{i_2},\dots,\boldsymbol a_{i_r}$ 是 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_t$ 的一个极大无关组。
        • 将向量组 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_t$ 的秩定义为其极大无关组的向量个数，记作 $r(\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_t)$。
      • 性质
        • 向量组 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_t$ 线性无关的充要条件是 $r(\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_t)=t$。
        • 向量组的极大无关组可能不唯一，但秩唯一。
        • 极大无关组与原向量组等价，原向量组中任何包含了极大无关组的向量组与原向量组等价。
        • 两个向量组等价，则它们的极大无关组也等价，两个向量组也拥有相同的秩。
        • 如果向量组 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_s$ 可以由向量组 $\boldsymbol b_1,\boldsymbol b_2,\dots,\boldsymbol b_t$ 线性表示，则 $r(\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_s)\le r(\boldsymbol b_1,\boldsymbol b_2,\dots,\boldsymbol b_t)$。
        • 向量组的秩等于它按列构成的矩阵的秩，也等于它按行构成的矩阵的秩。
        • 如果矩阵 $A$ 和 $B$ 行等价，则 $A$ 的列构成的向量组与 $B$ 的列构成的向量组有相同的线性关系。
          • 两个向量组都是线性无关，或线性相关。
          • 两个向量组中的编号相同的向量被向量组线性表示的系数相同。
• 解析几何应用
  • 表示
    • 解析几何中，向量一般为 $\mathrm R^3$。
    • $\overrightarrow{AB}=\boldsymbol v=(x,y,z)=x\boldsymbol i+y\boldsymbol j+z\boldsymbol k$。
  • 方向
    • $\boldsymbol v$ 的方向角 $\alpha,\beta,\gamma$ 为 $\boldsymbol v$ 与 $x,y,z$ 轴的夹角。
    • $\boldsymbol v$ 的方向余弦为 $\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma$。
    • 方向角与方向余弦用于表示向量的方向。
    • 方向余弦的性质：
      • $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$
      • $\frac{\boldsymbol v}{|\boldsymbol v|}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$
  • 乘积
    • 数量积 / 点积
      • $\boldsymbol a$ 与 $\boldsymbol b$ 的数量积为 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\langle \boldsymbol a,\boldsymbol b\rangle$，其中 $\langle \boldsymbol a,\boldsymbol b\rangle$ 为 $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ 的夹角。
      • 若 $\boldsymbol a=(x_1,y_1,z_1),\boldsymbol b=(x_2,y_2,z_2)$，则 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。
      • 运算律：
        • $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=\boldsymbol b\cdot\boldsymbol a$
        • $(k\boldsymbol a)\cdot\boldsymbol b=k(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)$
        • $(\boldsymbol a+\boldsymbol b)\cdot \boldsymbol c=\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c+\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c$
      • 性质：
        • $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=0 \iff \boldsymbol a\perp\boldsymbol b$
    • 向量积 / 叉积
      • $\boldsymbol a$ 与 $\boldsymbol b$ 的向量积为 $\boldsymbol a\times\boldsymbol b$，其结果为向量。
        • $|\boldsymbol a\times\boldsymbol b|=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\sin\langle \boldsymbol a,\boldsymbol b\rangle$。
        • $\boldsymbol a\times\boldsymbol b$ 的方向这样判断，用右手手指指向 $\boldsymbol a$ 的方向，手掌向 $\boldsymbol b$ 握拳，大拇指的方向就是$\boldsymbol a\times\boldsymbol b$ 的方向。
      • 若 $\boldsymbol a=(x_1,y_1,z_1),\boldsymbol b=(x_2,y_2,z_2)$，则 $\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\begin{vmatrix} \boldsymbol i & \boldsymbol j & \boldsymbol k\\ x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2\end{vmatrix}$。
      • 运算律：
        • $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=\boldsymbol b\cdot\boldsymbol a$
        • $(k\boldsymbol a)\cdot\boldsymbol b=k(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)$
        • $(\boldsymbol a+\boldsymbol b)\cdot \boldsymbol c=\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c+\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c$
      • 性质：
        • $|\boldsymbol a\times\boldsymbol b|$ 是以 $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ 为相邻两边的平行四边形的面积。
        • $\boldsymbol a\times\boldsymbol b=0 \iff \boldsymbol a\parallel\boldsymbol b$
  • 投影
    • $\boldsymbol a$ 在 $\boldsymbol b$ 上的投影（长度）为 $(\boldsymbol a)_{\boldsymbol b}=\operatorname{Prj}_{\boldsymbol b}\boldsymbol a=|\boldsymbol a|\cos\langle \boldsymbol a,\boldsymbol b\rangle=\frac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol b|}$。
    • $\boldsymbol a$ 在 $\boldsymbol b$ 上的投影向量为 $\frac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol b|^2}\boldsymbol b$。