相似矩阵

• 定义
  • 对于 $n$ 阶方阵 $A,B$，若存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP=B$，则 $A$ 与 $B$ 相似，记作 $A\sim B$，$P$ 是由 $A$ 到 $B$ 的相似变换矩阵。
• 性质
  • 若 $A\sim B$，则：
    • $A,B$ 有相同的特征值。
    • $r(A)=r(B)$
    • $|A|=|B|$
    • $A,B$ 同时可逆或不可逆，若它们可逆，则 $A^{-1}\sim B^{-1}$。
    • $\forall k\in\mathrm R,m\in\mathrm N^*,p(x)$，$kA\sim kB,A^m\sim B^m,p(A)\sim p(B)$。
• 相似对角化
  • 定义
    • 如果方阵 $A$ 与对角矩阵相似，即 $X^{-1}AX=\Lambda$，则 $A$ 可以相似对角化。
    • $\Lambda$ 是 $A$ 的特征值为对角元的对角矩阵，$X$ 是 $A$ 的特征向量按列组成的矩阵。
    • $\Lambda$ 中特征值的排列顺序可以改变，特征向量只要与特征值相对应，$\Lambda,X$ 不唯一。
    • $\Lambda$ 与 $X$ 的每一列要按照特征值与特征向量的从属关系对应。
  • 性质
    • $A^n=X\Lambda^nX^{-1}$
  • 条件
    • 特征向量角度
      • $A$ 可以相似对角化 $\iff$ $A$ 有线性无关的特征向量组。
      • 不同特征值对应的特征向量线性无关。
      • 有 $n$ 个不同特征值的 $n$ 阶矩阵可以相似对角化。
    • 重数角度
      • 定义 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda_i$ 的代数重数 $p_i$ 为特征多项式中 $(x-\lambda_i)$ 的次数，几何重数 $q_i$ 为 $\dim N(\lambda_iI-A)$。
      • 设 $A$ 有 $t$ 个不同的特征值。
      • $A$ 可以相似对角化 $\iff \forall i\le t,p_i=q_i \iff \sum\limits_{i=1}^t q_i=n$。
    • 特殊矩阵角度
      • 幂零矩阵
        • 满足 $\exists m\in N,A^m=0$ 的方阵 $A$ 称为幂零矩阵。
        • 幂零矩阵的特征值全部为 $0$。
        • 若幂零矩阵是零矩阵，则其可以相似对角化（化为自身）。
        • 若幂零矩阵不是零矩阵，则其不可以相似对角化。
      • 幂等矩阵
        • 满足 $A^2=A$ 的方阵 $A$ 称为幂等矩阵。
        • 幂等矩阵的任意次幂都等于本身。
        • 幂等矩阵 $A$ 只可能有 $0,1$ 两个特征值，$1$ 有 $r(A)$ 个，$0$ 有 $n-r(A)$ 个。
        • 幂等矩阵 $A$ 可以相似对角化为 $\begin{bmatrix}I_r & 0 \\ 0 & 0_{n-r}\end{bmatrix}\ (r=r(A))$。
      • 秩为 1 的矩阵
        • $A=\boldsymbol a\boldsymbol b^{\mathrm T}$，则 $r(A)=1$。
        • $A$ 的特征值为 $0,\boldsymbol a^{\mathrm T}\boldsymbol b$，$0$ 有 $n-1$ 个，$\boldsymbol a^{\mathrm T}\boldsymbol b$ 有 $1$ 个（当 $\boldsymbol a^{\mathrm T}\boldsymbol b\ne 0$）。
        • 如果 $\boldsymbol a^{\mathrm T}\boldsymbol b=0$，$A$ 不可以相似对角化。
        • 如果 $\boldsymbol a^{\mathrm T}\boldsymbol b\ne 0$，$A$ 可以相似对角化为 $\operatorname{diag}(\boldsymbol a^{\mathrm T}\boldsymbol b,0,0,\cdots,0)$。
        • $tr(A)=\boldsymbol a^{\mathrm T}\boldsymbol b$
      • 实对称矩阵
        • 实对称矩阵的特征值全为实数。
        • 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交。
        • 实对称矩阵可以相似对角化。
        • 若 $A$ 为实对称矩阵，则存在正交矩阵 $Q$，使得 $Q^{\mathrm T}AQ=\Lambda$。$Q$ 是 $A$ 的相互正交的特征向量组成的，这就是正交相似对角化。
        • 实对称矩阵 $A$ 的相似对角化可以是 $Q^{\mathrm T}AQ=\Lambda$，也可以用普通的相似对角化 $X^{-1}AX=\Lambda$。
• Jordan 标准型
  • 定义
    • Jordan 标准型是任何方阵的相似方阵中最简单的一个，包含了特征值、代数重数、几何重数等信息。
    • 定义 $m$ 阶 Jordan 块为 $J_m(\lambda)=\begin{bmatrix} \lambda & 1 & & &\\ & \lambda & 1 & &\\ & & \ddots & \ddots&\\ & & & \lambda & 1\\ & & & & \lambda\end{bmatrix}$，并记 $J(\lambda)=\begin{bmatrix} J_{m_1}(\lambda) & & & \\ & J_{m_1}(\lambda) & & \\ & & \ddots & \\ & & & J_{m_q}(\lambda)\end{bmatrix}$。
      • 一个特征值会对应多个 Jordan 块。
    • 定义 Jordan 标准型 $J=\begin{bmatrix} J_{m_1}(\lambda_1) & & \\ & \ddots & \\ & & J_{m_n}(\lambda_k)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} J(\lambda_1) & & \\ & \ddots & \\ & & J(\lambda_k)\end{bmatrix}$。
      • 前一个是 Jordan 块为对角元，后一个是把特征值相同的 Jordan 块合并为一个准对角矩阵。
  • 性质
    • 对于任意方阵 $A$，存在可逆矩阵 $P$ 和 Jordan 标准型 $J$，使得 $P^{-1}AP=J$，即 $A\sim J$。
    • 可相似对角化的矩阵的 Jordan 标准型就是特征值为对角元的对角矩阵，是一种特殊情况。
    • $\lambda_i$ 的代数重数等于 $J$ 中 $\lambda_i$ 的出现次数，也等于 $J(\lambda)$ 的阶数。
    • $\lambda_i$ 的几何重数等于 $J_{m_j}(\lambda_i)$ 的个数。
      • 观察 $\lambda_i I-J$，只有原来是 $\lambda_i$ 的对角元是 $0$。
      • 其中的 $J_{m_j}(\lambda_i)$ 变为 $J_m(\lambda)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & & &\\ & 0 & 1 & &\\ & & \ddots & \ddots&\\ & & & 0& 1\\ & & & & 0\end{bmatrix}$，多出一个零行。
      • $\lambda_i I-J$ 中的零行个数等于 $J_{m_j}(\lambda_i)$ 的个数，同时等于 $n-r(\lambda_i I-J)$ 的个数，即几何重数。