二次型

• 定义
  • 像 $f(x_1,x_2,\dots,f_n)=a_{11}x_1^2+a_{12}x_1x_2+\cdots+a_{1n}x_1x_n\cdots+a_{nn}x_n^2$ 这样的 $n$ 元二次齐次多项式函数，被称为二次型。
  • 二次型可以用矩阵表示：$f(x_1,x_2,\dots,f_n)=f(\boldsymbol x)=\boldsymbol x^{\mathrm T}A\boldsymbol x$。
  • 约定二次型的矩阵是对称矩阵。
  • 定义二次型 $f$ 的秩为 $f$ 的矩阵的秩。
  • 对二次型的分类：
    • 任意的二次型是一般形。
    • 如果二次型的矩阵是对角矩阵，则该二次型被称为标准形。
    • 如果二次型的矩阵是对角矩阵 $\operatorname{diag}(1,1,\dots,1,0,0,\dots,0)$，则该二次型被称为规范形。
• 一般形线性替换为标准形
  • 配方法
    • 配方法适用于任何二次型。
    • 方法：
      • 合并含 $x_1$ 的项。
        • 若 $x_1^2$ 系数 $a_{11}\ne 0$，则利用配方法合并所有的含 $x_1$ 的项，令 $y_1=x_1+\cdots$。
        • 若 $x_1^2$ 系数 $a_{11}=0$，但 $a_{ii}\ne 0\ (i\ne 1)$，则令 $y_1=x_i,y_i=x_1$，其他不变。
        • 若无平方项，则令 $x_1=y_1+y_2,x_2=y_1-y_2$，其他不变。
      • 写出用于合并 $x_1$ 项的线性替换矩阵。
      • 用同样的方法配方其他项。也可以先配方其他项再写线性替换矩阵。
      • 将所有线性替换矩阵按顺序相乘。
  • 正交替换法
    • 正交替换法适用于实二次型。
    • 方法：
      • 对于 $f(\boldsymbol x)=\boldsymbol x^{\mathrm T}A\boldsymbol x$，进行正交相似对角化 $Q^{\mathrm T}AQ=\Lambda$。
      • $Q$ 作为线性替换矩阵，$\boldsymbol x=Q\boldsymbol y$。
      • $f(\boldsymbol x)=(Q\boldsymbol y)^{\mathrm T}A(Q\boldsymbol y)=\boldsymbol y^{\mathrm T}(Q^{\mathrm T}AQ)\boldsymbol y=\boldsymbol y^{\mathrm T}\Lambda\boldsymbol y=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$。
    • 这也被称为主轴定理。
    • 正交替换是对图形进行的旋转，不改变图形的大小、形状。即任意向量长度不变，向量之间的夹角不变。
• 规范形
  • 定义
    • 若实二次型 $f(\boldsymbol x)=\boldsymbol x^{\mathrm T}\begin{bmatrix} I_{p} & & \\ & -I_{r-p} & \\ & & 0\end{bmatrix}\boldsymbol x$，则 $f$ 是规范形。
  • 性质
    • 惯性定理
      • 任何实二次型都可以经过非退化的线性替换得到唯一的规范形。
      • 规范形中，$r$ 为矩阵的秩，$p$ 为正惯性指数，$r-p$ 为负惯性指数。
      • 替换前后的两个矩阵的惯性指数不变。
    • 定性
      • 二次型有五种定性：
        • 若 $f(\boldsymbol x)>0\ (\boldsymbol x\ne \boldsymbol 0)$，则 $f$ 正定。
        • 若 $f(\boldsymbol x)<0\ (\boldsymbol x\ne \boldsymbol 0)$，则 $f$ 负定。
        • 若 $f(\boldsymbol x)\ge 0\ (\boldsymbol x\ne \boldsymbol 0)$，且 $\exists \boldsymbol x_0\ne 0,f(\boldsymbol x_0)=0$，则 $f$ 半正定。
        • 若 $f(\boldsymbol x)\le 0\ (\boldsymbol x\ne \boldsymbol 0)$，且 $\exists \boldsymbol x_0\ne 0,f(\boldsymbol x_0)=0$，则 $f$ 半负定。
        • 否则 $f$ 不定。
      • 二次型的矩阵也可以有相同的定性。如正定二次型的矩阵就是正定矩阵。
      • 定性都是针对对称矩阵讨论的。
      • $n$ 元二次型 $f$ 的定性可以用其惯性指数判断：
        • 若 $p=r=n$，则 $f$ 正定。
        • 若 $p=r<n$，则 $f$ 半正定。
        • 若 $p=0,r=n$，则 $f$ 负定。
        • 若 $p=0,r<n$，则 $f$ 半负定。
        • 若 $0<p<r$，则 $f$ 不定。
• 正定矩阵
  • 性质
    • 若 $A$ 是正定矩阵，则：
      • $f(\boldsymbol x)=\boldsymbol x^{\mathrm T}A\boldsymbol x$ 正定。
      • $A\simeq I$。
      • 存在可逆矩阵 $B$，使得 $A=B^{\mathrm T}B$。
      • $A$ 的特征值全大于 $0$。
  • 判定
    • 利用以上正定矩阵的性质判断。
    • 赫尔维兹定理：若 $A$ 的各阶顺序主子式均大于 $0$，则 $A$ 是正定矩阵。
      • 推论：若 $A$ 的各阶顺序主子式均大于等于 $0$，且其中一个等于 $0$，则 $A$ 是半正定矩阵。
  • 注意事项
    • $A$ 是正定矩阵的隐含条件是 $A$ 是实对称矩阵。