矩阵

• 初等变换
  • 初等行变换
    • 互换矩阵中的第 $i$ 行和第 $j$ 行：$R_i \leftrightarrow R_j$
    • 将矩阵中的第 $i$ 行乘上一个非零常数 $h$：$hR_i$
    • 将矩阵中的第 $i$ 行的 $k$ 倍加到第 $j$ 行：$kR_i+R_j$
  • 初等列变换
    • 与初等行变换类似。
• 关系
  • 同型
    • 若矩阵 $A$ 与 $B$ 的行数与列数相等，则称 $A$ 与 $B$ 同型。
  • 相等
    • 若同型矩阵 $A$ 与 $B$ 的每一个元素都相等，则 $A$ 与 $B$ 相等，记作 $A=B$。
  • 等价
    • 若矩阵 $A$ 可以通过初等变换化为 $B$，则 $A$ 与 $B$ 等价，记作 $A\cong B$。
  • 相似
    • 详见矩阵相似页面。
  • 合同
    • 对于 $n$ 阶方阵 $A,B$，若存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{\mathrm T}AP=B$，则 $A$ 与 $B$ 合同，记作 $A\simeq B$。
    • 合同主要与二次型有比较大的联系，二次型 $\boldsymbol x^{\mathrm T}A\boldsymbol x$ 经过非退化线性替换 $\boldsymbol x=P\boldsymbol y$ 得到 $\boldsymbol y^{\mathrm T}B\boldsymbol y$，则 $A\simeq B$。
• 运算
  • 加法
    • 设 $A$ 与 $B$ 都是 $m\times n$ 矩阵，则 $A$ 与 $B$ 可以相加，记作 $A+B$。设 $C=A+B$，则 $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$。
  • 数乘
    • 设 $k$ 为常数，矩阵 $A$ 与 $k$ 的乘积称为数乘，记作 $kA$。设 $B=kA$，则 $b_{ij}=ka_{ij}$。
  • 乘法
    • 定义
      • 设 $A$ 为 $m\times p$ 矩阵，$B$ 为 $p\times n$ 矩阵，则 $A$ 与 $B$ 可以相乘，记作 $AB$。设 $C=AB$，则 $c_{ij}=\sum\limits_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}$。
    • 对乘法的理解
      • $AB$ 的每一个元素是 $A$ 的每一行与 $B$ 的每一列的内积。
      • $AB$ 的每一列是 $A$ 左乘 $B$ 的每一列，该列相当于 $A$ 的列的线性组合。
      • $AB$ 的每一行是 $B$ 右乘 $A$ 的每一行，该行相当于 $B$ 的行的线性组合。
      • $AB$ 是 $A$ 的每一列与 $B$ 的每一行相乘得到的矩阵之和。
    • 性质
      • 若 $A$ 的第 $i$ 行为零行，则 $AB$ 的第 $i$ 行为零行；若 $B$ 的第 $j$ 行为零列，则 $AB$ 第 $j$ 行为零列。
      • $AB$ 的非零行个数小于等于 $A$ 的非零行个数，$AB$ 的非零列个数小于等于 $B$ 的非零列个数。
    • 注意
      • $AB=0$ 不能推出 $A=0$ 或 $B=0$。
  • 逆
    • 定义
      • 对于方阵 $A$，若存在方阵 $B$，使得 $AB=BA=I$，则称 $A$ 为可逆矩阵，$B$ 是 $A$ 的逆矩阵，记作 $A^{-1}$。
    • 性质
      • 逆矩阵唯一。
      • $(A^{-1})^{-1}=A$
      • $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$
      • $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
      • $(A^{\mathrm T})^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm T}$
      • 若 $AB$ 可逆，则 $A$ 与 $B$ 都可逆。
        • 一类证明矩阵可逆的题目通常会给出一个等式和一个要证明可逆的矩阵，此时通常会将等号左边进行因式分解，其中一个为要证明的矩阵，剩下一些无法被分解的，一般是单位矩阵的数乘，移到等号右边。
        • 如已知 $A^2-2A-3I=0$，证明 $A-4I$ 可逆，则分解为 $(A-4I)(A+2I)=-5I$。
    • 求解
      • 见矩阵求逆。
  • 秩
    • 定义
      • 矩阵 $A$ 的阶梯形的非零行个数称为 $A$ 的秩，记作 $r(A)$。
      • 若矩阵的秩等于其阶，则称该矩阵满秩。
    • 性质
      • $r(A)=0 \iff A=0$
      • $r(A_{m\times n})\le \min\{m,n\}$
      • 初等变换不改变矩阵的秩。若 $A \cong B$，则 $r(A)=r(B)$。
      • 若 $r(A) = r$，则 $A\cong K_r(m,n)$，其中 $K_r(m,n)=\begin{bmatrix} I_r & 0_{r\times (n-r)}\\ 0_{(m-r)\times r} & 0_{(m-r)\times (n-r)}\end{bmatrix}$，称为标准型。
      • $r(AB)\le \min\left\{r(A),r(B)\right\}$
      • $r(AB)\ge r(A)+r(B)-n$，其中 $n$ 为 $A$ 的列数，$B$ 的行数。
      • 设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵且 $r(A)=n$，则
        • $A$ 可以表示为有限个初等矩阵的乘积；
        • $A$ 是可逆矩阵。
      • $r(A)=r(A^{\mathrm T})$
      • 若 $P,Q$ 满秩 / 可逆，则 $r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)$，即任意矩阵与满秩 / 可逆矩阵相乘不改变其秩。
      • 若 $r(A_{m\times n})=1$，则 $A$ 可以拆分成一个 $m\times 1$ 矩阵乘 $1\times n$ 矩阵。
    • 极限
      • 对于矩阵序列 $\{A_n\}$，如果 $\lim\limits_{n \to +\infty} ||A_n - A|| = 0$，则 $\boldsymbol x_n$ 收敛于 $A$，记作 $\lim\limits_{n \to +\infty} A_n = A$。
      • 此处范数种类任意。
      • $\lim\limits_{n \to +\infty} A_n = A \iff A_n$ 各分量收敛于 $A$ 各分量。
• 特殊矩阵
  • 行矩阵
    • 只有一行的矩阵称为行矩阵。
  • 列矩阵
    • 只有一列的矩阵称为列矩阵，常用于表示列向量。
  • 零矩阵
    • 全部元素均为零的矩阵称为零矩阵，记为 $0$。
  • 方阵
    • 定义
      • 行数与列数相等的矩阵称为方阵。若行数与列数为 $n$，则将该方阵称为 $n$ 阶矩阵 / $n$ 阶方阵。
      • $1$ 阶方阵可视为数。
      • 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵, 称 $a_{ii}$ 为 $A$ 的主对角元，它们组成主对角线。
    • 性质
      • 设 $f(x)=a_0x^m+a_1x^{m-1}+\cdots+a_{m-1}x+a_m$ 是 $x$ 的多项式，$A$ 是方阵，则 $f(A)=a_0A^m+a_1A^{m-1}+\cdots+a_{m-1}A+a_m$ 是 $A$ 的多项式。
      • 设 $f(x),g(x),h(x)$ 是 $x$ 的多项式，$A$ 是方阵，$f(x)=g(x)h(x)$，则 $f(A)=g(A)h(A)$。方阵的多项式也可以进行因式分解。
    • 技巧
      • 设 $C=AB$，求 $C^n$ 时，如果 $BA$ 比 $AB$ 更简单（如 $BA$ 就是一个数），可以用 $C=A(BA)\cdots (BA)B=A(BA)^{n-1}B$ 简化计算。
  • 单位矩阵
    • 定义
      • 对角元均为 $1$ 的方阵称为单位矩阵。$n$ 阶单位矩阵记作 $I_n$。
      • 一般情况下，若不注明单位矩阵的阶，则其由上下文决定。
    • 性质
      • $AI=IA=A$
  • 初等矩阵
    • 定义
      • 对单位矩阵做一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
    • 性质
      • 对矩阵 $A$ 做一次初等行变换得到 $B$，对单位矩阵做一次相同的初等行变换得到的初等矩阵 $E$，则 $B=EA$。
      • 对矩阵 $A$ 做一次初等列变换得到 $B$，对单位矩阵做一次相同的初等列变换得到的初等矩阵 $E$，则 $B=AE$。
      • $A\cong B\iff$ 存在初等矩阵 $P_1,P_2,\dots,P_s,Q_1,Q_2,\dots,Q_t$，使得 $P_s\cdots P_2P_1AQ_1Q_2\cdots Q_t=B$。
      • 如果 $P$ 是初等矩阵，则存在同阶初等矩阵 $Q$，使得 $PQ=QP=I$，即 $Q=P^{-1}$。
  • 行阶梯形矩阵
    • 定义
      • 满足以下条件的矩阵被称为行阶梯形矩阵：
        • 零行全部在下方；
        • 非零行的主元的列标严格单调递增。
      • 行阶梯形矩阵一般简称为阶梯形矩阵。
    • 定理
      • 任意矩阵可以通过初等行变换化为阶梯形矩阵。
  • 最简行阶梯形矩阵
    • 定义
      • 满足以下条件的矩阵被称为最简行阶梯形矩阵：
        • 零行全部在下方；
        • 非零行的主元的列标严格单调递增；
        • 主元为 $1$，且主元所在的列的其他元素均为 $0$。（与阶梯形矩阵的差异）
  • 分块矩阵
    • 划分方式
      • 按行或列划分。
      • 按子块特征划分。（如单位矩阵或零矩阵）
    • 运算
      • 加法
        • 两个矩阵划分方式相同。
        • 相同位置的子块相加。
      • 数乘
        • 任意分法。
        • 每个子块各自数乘。
      • 乘法
        • 左边矩阵对列的分法与右边矩阵对行的分法相同。
        • 把子块当成数字进行计算。
        • 特别注意在进行分块矩阵乘法时，每个子块之间相乘顺序不可以交换，按照矩阵乘法公式 $C_{ij}=\sum\limits_{k=1}^{p}A_{ik}B_{kj}$ 进行。
      • 转置
        • 将子块看作数字，对大矩阵进行转置，同时转置所有的子块。
      • 逆
        • 使用初等行变换。
        • 设出分块矩阵的逆矩阵的每个块，列方程组求解。
        • 利用公式。
  • 正交矩阵
    • 定义
      • 若 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_n$ 是 $R^n$ 的一个规范正交基，则 $Q=\begin{bmatrix} \boldsymbol a_1 & \boldsymbol a_2 & \cdots & \boldsymbol a_n\end{bmatrix}$ 称为正交矩阵。
    • 性质
      • $Q$ 为正交矩阵 $\iff Q^{\mathrm T}Q=QQ^{\mathrm T}=I\iff Q^{\mathrm T}=Q^{-1}$