线性方程组

• 核心问题
  • 解的判别：存在性与唯一性
  • 求解：解集合
  • 解的结构：解之间的关系
• 初等变换
  • 定义
    • 互换方程组中的第 $i$ 个方程和第 $j$ 个方程。
    • 将方程组中的第 $i$ 个方程乘上一个非零常数 $h$。
    • 将方程组中的第 $i$ 个方程的 $k$ 倍加到第 $j$ 个方程。
  • 性质
    • 线性方程组的初等变换将一个方程组变换为另一个同解的方程组。
    • 线性方程组的初等变换可以与矩阵的初等行变换对应。
• 高斯消元
  • 约定
    • 用上面的方程中的未知数消去下面方程中的未知数。
    • 一个方程中从左到右依次消去未知数。
  • 目的
    • 原方程组化为阶梯形方程组。
  • 过程
    • 线性方程组 $\rightarrow$ 增广矩阵 $\rightarrow$ 阶梯形矩阵 $\rightarrow$ 阶梯形方程组 $\rightarrow$ 回代求解
  • 解的判定
    • 方程组化为阶梯形方程组后，分为以下几种情况：
      • 无解：有矛盾方程
      • 有解：无矛盾方程
        • 唯一解：方程个数等于未知数个数
        • 无穷多解：方程个数小于未知数个数
    • 阶梯形方程组不包含 $0=0$ 方程。
    • 设系数矩阵为 $A_{m\times n}$，增广矩阵为 $\begin{bmatrix}A & \boldsymbol b\end{bmatrix}$，使用秩进行判定：
      • 无解：$r(A)< r\left(\begin{bmatrix}A & \boldsymbol b\end{bmatrix}\right)$
      • 有解：$r(A)=r\left(\begin{bmatrix}A & \boldsymbol b\end{bmatrix}\right)$
        • 唯一解：$r(A)=r\left(\begin{bmatrix}A & \boldsymbol b\end{bmatrix}\right)=n$
        • 无穷多解：$r(A)=r\left(\begin{bmatrix}A & \boldsymbol b\end{bmatrix}\right)< n$
    • 对于齐次线性方程组，至少有一个零解，可能有非零解。
    • 若齐次线性方程组有非零解，即 $r(A)<n$，则其有无穷多个解。
    • 讨论带参数的阶梯形矩阵的解的情况时，要看所有的参数，不能只看最后一行。
  • 解的结构
    • 设系数矩阵为 $A_{m\times n}$，则
      • 主元未知数的个数等于 $r(A)$；
      • 自由未知数个数等于 $n-r(A)$。
• 解的向量表示
  • 约定
    • 规定 $A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ 的导出方程组为 $A\boldsymbol x=\boldsymbol 0$。
    • 规定 $N(A)$ 的一组基为 $A\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 的基础解系。
  • 解的结构
    • 若 $\boldsymbol x_0$ 是 $A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ 的一个特解，$\boldsymbol x_1,\boldsymbol x_2,\dots,\boldsymbol x_t$ 是 $N(A)$ 的基，则方程组的通解是 $\boldsymbol x=\boldsymbol x_0+c_1\boldsymbol x_1+c_2\boldsymbol x_2+\dots+c_t\boldsymbol x_t$。
    • $t=n-r(A)$
    • $\boldsymbol x\in\{x_0\}+\operatorname{span}(\boldsymbol x_1,\boldsymbol x_2,\dots,\boldsymbol x_t)$
  • 性质
    • $A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ 的任意两个解 $\boldsymbol x_1,\boldsymbol x_2$ 的差 $\boldsymbol x_1-\boldsymbol x_2$ 是 $A\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 的解。
    • 设 $\boldsymbol x_1,\boldsymbol x_2,\dots,\boldsymbol x_t$ 是 $A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ 的解，则 $k_1\boldsymbol x_1+k_2\boldsymbol x_2+\cdots+k_t\boldsymbol x_t$ 也是 $A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ 的解。
      • 常见例子是 $\boldsymbol x_1,\boldsymbol x_2$ 是 $A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ 的解，则 $\frac{\boldsymbol x_1+\boldsymbol x_2}{2}$ 也是 $A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ 的解。