群

• 群
  • 定义
    • 已知代数系统 $V=\langle A,\circ \rangle$
      • 若 $\circ$ 满足结合律，则 $V$ 是半群。
      • 若 $V$ 中存在单位元，则 $V$ 是幺半群 / 独异点。
      • 若 $A$ 中每个元素都有逆元在 $A$ 中，则 $V$ 是群。
    • 在群中，$x\circ y$ 可以省略 $\circ$ 为 $xy$，沿用乘法、乘幂等记号。
  • 分类
    • 若群 $G$ 是有穷集，则 $G$ 是有限群，否则是无限群。
    • 若群 $G$ 只包含单位元，则 $G$ 是平凡群。
    • 若群 $G$ 的二元运算有交换律，则 $G$ 是交换群 / 阿贝尔群。
  • 性质
    • 群的运算满足消去律。
  • 乘幂
    • 已知 $G,a\in G$，定义 $a^n = \left\{\begin{matrix} a^{n-1} a, & n > 0 \\ e, & n = 0 \\ (a^{-1})^{-n}, & n < 0 \end{matrix}\right.$。
      • $(a^{-1})^{-1} = a$
      • $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$
      • $a^m a^n = a^{m + n}$
      • $(a^m)^n = a^{mn}$
      • 若 $G$ 为交换群，则 $(ab)^n = a^n b^n$。
  • 阶
    • 已知 $G,a\in G$，若存在最小的 $k$ 使得 $a^k = e$，则 $k$ 为 $a$ 的阶，记作 $|a|=k$，$a$ 为 $k$ 阶元。不存在则 $a$ 为无限阶元。
    • 已知 $|a| = r$，$b$ 为有限阶元
      • $a^k = e \iff r \mid k$
      • $|a^{-1}| = |a| = r$
      • $|b^{-1}ab| = |a|$
      • $|ab| = |ba|$
    • 若 $G$ 为有限群，则 $G$ 中阶大于 $2$ 的元素有偶数个。
• 子群
  • 定义
    • 设 $G$ 为群，非空集 $H \subseteq G$，如果 $H$ 关于 $G$ 中的运算构成群，则 $H$ 是 $G$ 的子群，记作 $H\le G$。
    • 如果 $H \ne G$，则 $H$ 是 $G$ 的真子群，记作 $H < G$。
  • 判定
    • 充要条件 1：$\forall a,b \in H$ 有 $ab \in H$，且 $\forall a \in H$ 有 $a^{-1} \in H$。
    • 充要条件 2：$\forall a,b\in H$ 有 $ab^{-1} \in H$。
    • 充要条件 3：$H$ 是有穷集时，$\forall a,b\in H$ 有 $ab \in H$。
  • 重要子群
    • 元素生成的子群
      • 已知 $G$ 为群，$a\in G$，则定义 $\langle a \rangle = \{a^k \mid k \in \mathrm Z\}$。
      • 已知 $B \subseteq G$，则定义 $\langle B \rangle = \cap \{H \mid B \subseteq H \land H \le G \}$。
    • 中心
      • 已知 $G$ 为群，$C = \{ a \mid a \in G \land \forall x \in G (ax = xa)\}$，即 $C$ 包含 $G$ 中所有与其他元素可交换的元素。
      • 定义 $C$ 为 $G$ 的中心。
      • 对于交换群，其中心为本身。
  • 性质
    • 已知 $G,H,K$ 为群，$H \le G,K\le G$，则
      • $H \cap K \le G$
      • $H \cup K \le G \iff H \subseteq K \lor K \subseteq H$
• 陪集
  • 定义
    • 已知 $G,H$ 为群，$H \le G$，$a \in G$。
    • 定义右陪集 $Ha = \{ ha \mid h \in H \}$，$a$ 为其代表元素。
    • 定义左陪集为 $aH = \{ah \mid h \in H \}$。
  • 性质
    • 已知 $H \le G$，则
      • $He=H$，$eH=H$
      • $\forall a \in H$，$a \in Ha$，$a \in aH$
      • $\forall a,b \in G$，$a \in Hb \iff ab^{-1} \in H \iff Ha = Hb$，由此给出相等的充要条件。
      • $\forall a,b \in G$，$a \in bH \iff b^{-1}a \in H \iff aH = bH$
      • $H$ 在 $G$ 中的左陪集与右陪集数量相等，都记作 $[G:H]$。
    • 陪集中的任何元素都可以作为其代表元素。
    • 已知 $G$ 为群，$a,b\in G$，定义二元关系 $R$ 满足 $\langle a,b\rangle \in R \iff ab^{-1} \in H$。则 $[a]_R = Ha$。
      • $\forall a,b\in G$，$Ha = Hb \lor Ha \cap Hb = \varnothing$
      • $\displaystyle\bigcup_{a\in G} Ha = G$
      • $\forall a \in G$，$H \approx Ha$
      • 左陪集有类似性质。
  • 拉格朗日定理
    • 已知 $G,H$ 为群，$H \le G$，则 $|G| = |H|[G:H]$。
    • 已知 $G$ 为 $n$ 阶群，$a \in G$，则 $|a|$ 是 $n$ 的因子，$|a|^n = e$。
    • $n$ 为质数时，存在 $a$ 使得 $\langle a \rangle=G$。
    • 逆定理不成立。
• 循环群
  • 定义
    • 已知 $G$ 为群，如果存在 $a \in G$ 且 $\langle a \rangle = G$，则 $G$ 为循环群，$a$ 为生成元。
    • 循环群分为无限循环群和 $n$ 阶循环群。
  • 性质
    • 生成元的个数：
      • 如果 $G=\langle a \rangle$ 为无限循环群，则 $G$ 只有两个生成元 $a,a^{-1}$。
      • 如果 $G=\langle a \rangle$ 为 $n$ 阶循环群，则 $G$ 的生成元 $b$ 满足 $|b|$ 与 $n$ 互质，个数为 $\varphi(n)$。
    • 循环群的子群：
      • 如果 $G=\langle a \rangle$ 为循环群，则其子群也为循环群。
      • 如果 $G=\langle a \rangle$ 为无限循环群，则除 $\{e\}$ 以外的子群都是无限循环群。
      • 如果 $G=\langle a \rangle$ 为 $n$ 阶循环群，对每个 $n$ 的正因子 $d$，$G$ 有恰好一个 $d$ 阶子群。
    • 求出 $n$ 阶循环群 $\langle a \rangle$ 的所有子群，只要找到所有 $n$ 的所有因子 $d_i$，则子群为 $\langle a^{n/d_i} \rangle$。
• 置换群
  • 定义
    • 设 $S=\{1,2,3,\dots,n\}$，$S$ 上的双射函数 $\sigma:S\to S$ 都是 $n$ 元置换。
    • 将 $n$ 元置换记作 $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n\\ \sigma(1) & \sigma(2) & \sigma(3) & \cdots & \sigma(n)\end{pmatrix}$。
    • 定义置换 $\sigma,\tau$ 的乘法 $\circ$ 为 $\sigma\tau(x)=\tau(\sigma(x))$。
    • 所有 $n$ 元置换的的群称为 $n$ 元对称群，其子群都称为 $n$ 元置换群。
    • 若 $n$ 元置换满足 $S$ 的其中 $k$ 个元素有 $\sigma(i_1)=i_2,\sigma(i_2)=i_3,\dots,\sigma(i_{k-1})=i_k,\sigma(i_k)=i_1$，其他元素不变，则 $\sigma$ 为 $k$ 阶轮换。
    • $k$ 阶轮换表示为 $(i_1\ i_2\ i_3\ \dots\ i_k)$。
    • 若 $k=2$ 则轮换称为对换。
  • 性质
    • 置换的轮换表示：
      • 任意的置换可以表示为若干个不交的轮换的乘积。
      • 如果不考虑每个轮换的内部顺序和轮换之间的顺序，则置换的轮换的表示是唯一的，即每个轮换的组成元素方案唯一。
      • 置换的轮换可以任意排列，轮换内可以任意循环移动。
    • 置换的对换表示：
      • 任意的置换可以表示为若干个对换的乘积。
      • 对于轮换 $(i_1\ i_2\ i_3\ \dots\ i_k)$，可以表示为 $(i_1\ i_2)(i_1\ i_3)\cdots(i_1\ i_k)$。
      • 置换的对换表示不唯一，且同一个轮换拆分的对换顺序不能改变。
    • 置换的对换表示按照对换个数分为奇置换和偶置换，个数分别为 $\dfrac{n!}{2}$。
    • 所有 $n$ 元偶置换构成的群称为 $n$ 元交错群。
• 环
  • 定义
    • 设 $\langle R,+,\cdot \rangle$ 为代数系统，若 $\langle R,+ \rangle$ 构成交换群，$\langle R,\cdot \rangle$ 构成半群，$\cdot$ 关于 $+$ 有分配律，则 $R$ 是环。
    • $+$ 称为环中的加法，$\cdot$ 称为环中的乘法。
    • 环中 $+$ 的单位元记作 $0$，$\cdot$ 的单位元记作 $1$。
    • 环中 $x$ 的加法逆元称为负元，记作 $-x$。
  • 分类
    • 若 $\cdot$ 有交换律，则 $R$ 为交换环。
    • 若 $\cdot$ 有单位元，则 $R$ 为含幺环。
    • 若 $\forall a,b \in R$，$ab = 0 \implies a = 0 \lor b = 0$，则 $R$ 为无零因子环。
    • 若 $R$ 是交换环、含幺环、无零因子环，则 $R$ 是整环。
    • 若 $R$ 是至少有两个元素的整环，且 $\forall a \in R - \{0\}$ 都存在 $a^{-1}$，则 $R$ 是域。
  • 性质
    • $\mathrm{\boldsymbol Z}$ 是整环，$\mathrm{\boldsymbol Q},\mathrm{\boldsymbol R},\mathrm{\boldsymbol C}$ 是域。