图论基础
- 图
- 定义
- 基本内容
- 定义集合 的无序积为 。
- 定义无向图 ,满足
- 为非空有穷集,称为点集,元素称为结点,记作 。
- 为 的有穷多重子集,称为边集,元素称为无向边,记作 。
- 定义有向图 ,满足
- 与无向图定义相同。
- 为 的有穷多重子集。
- 定义图的结点数为图的阶, 个结点的图称为 阶图,。
- 关联和相邻
- 关联:已知 ,则 与 关联。
- 若 ,则 与 的关联次数为 。
- 若 ,则为 。
- 若 ,则 与 的关联次数为 。
- 相邻:已知 ,则 与 相邻。
- 对无向图
- 邻域:
- 闭邻域:
- 关联集: 与 关联
- 对有向图
- 后继元素:
- 前驱元素:
- 邻域:
- 闭邻域:
- 平行边:关联一对结点的边的个数大于 的边。重复的次数称为重数。
- 简单图:没有平行边的图。
- 关联:已知 ,则 与 关联。
- 度数
- 度数:
- 对无向图, 作为边的端点的次数称为度数,记作 。
- 对有向图, 作为边的终点的次数称为入度 ,作为边的起点的次数称为出度 ,度为 。
- 对无向图,最大度 ,最小度 。对有向图的度有类似定义。
- 悬挂结点:度数为 的结点
- 悬挂边:与悬挂结点关联的边
- 奇 / 偶度结点:度数为奇 / 偶数的结点
- 度数:
- 特殊图
- 零图:边集为空的图, 阶零图记作 , 称为平凡图。
- 空图:点集为空的图,记作 。
- 标定图:图的结点和边都有编号的图,否则为非标定图。
- 基图:将有向图的边都修改为无向后得到的图。
- 完全图: 阶无向完全图记作 。 阶有向完全图在每一对结点之间都有双向的边。若 阶有向图的基图为 ,则其为 阶竞赛图。
- 正则图:度数均为 的无向图称为 -正则图。
- 图的关系
- 同构:对于图 ,存在双射 ,满足 ,且对应边重数相同,则 同构,记作 。
- 子图:已知 ,若 ,则 为 的子图,记作 , 为 的母图。
- 真子图:,若 或 ,则 为 的真子图。
- 生成子图:,若 ,则 为 的生成子图。
- 导出子图:
- 若 ,则 为 的 导出的子图,记作 。
- 若 ,则 为 的 导出的子图,记作 。
- 补图:,令 ,则 为 的补图。
- 自补图:若 ,则 为自补图。
- 基本内容
- 性质
- 度数
- 握手定理:
- 对 ,。
- 对 ,,。
- 可图化:
- 已知度数列 ,若存在 ,满足 ,则度数列可图化。
- 若 可以为简单图,则度数序列简单可图化。
- 对有向图可以有出度列和入度列。
- 可图化 满足 为偶数。
- 简单可图化必要条件:。
- 握手定理:
- 度数
- 定义
- 图的连通性
- 通路和回路
- 定义
- 设 为无向标定图,结点与边的交替序列 称为 到 的通路。
- 若 中 ,则 称为回路。
- 若 中边都不同,则 是简单通路,否则有边重复出现, 为复杂通路。
- 若 中边都不同且 ,则 是简单回路,否则有边重复出现, 为复杂回路。
- 若 中所有点和边都不同,则 是初级通路 / 路径。
- 若 中除了 所有点和边都不同,则 是初级回路 / 圈。
- 定义长度为 边的个数。
- 对于有向图有类似定义。
- 性质
- 在 阶图中,若 且存在 到 的通路,则存在 到 的长度小于等于 的初级通路 / 路径。
- 在 阶图中,若存在 到自身的回路,则存在 到自身的长度小于等于 的回路。
- 在 阶图中,若存在 到自身的简单回路,则存在 到自身的长度小于等于 的初级回路 / 圈。
- 定义
- 无向图连通性
- 基本定义
- 设 为无向图,若 之间存在通路,则 连通,记作 。
- 若 是平凡图或任意两个结点都是连通的,则 是连通图,否则为非连通图。
- 连通关系 是一个等价关系, 是 的一个等价类,则 是一个连通分支。
- 的连通分支数记作 。 阶图中, 有最小 , 有最大 。
- 之间最短路径的长度为距离 ,若 ,则 。
- 连通程度
- 对
- 若 使得 ,且任意 满足 ,则 为点割集。
- 若 ,则 中的唯一元素 称为割点。
- 若 使得 ,且任意 满足 ,则 为边割集。
- 若 ,则 中的唯一元素 称为割边 / 桥。
- 点连通度:已知 为连通图,定义 ,其中 为 的点割集。
- 规定 ,非连通图的 。
- 若 ,则 是 -连通图。-连通图至少需要删除 个点才可能使其不连通。
- 边连通度:已知 为连通图,定义 ,其中 为 的边割集。
- 规定非连通图的 。
- 若 ,则 是 边-连通图。 边-连通图至少需要删除 条边才可能使其不连通。
- 已知 为连通图
- 若 ,则 的点连通程度高。
- 若 ,则 的边连通程度高。
- 对任意无向图 ,有 。
- 对
- 基本定义
- 有向图连通性
- 基本定义
- 设 为有向图,若从 到 存在通路,则 到 可达,记作 。
- 若 且 ,则 相互可达,记作 。
- 规定 。
- 和 都是二元关系,其中 是等价关系。
- 到 的最短路径的长度为距离 。 相比 没有对称性。
- 设 为有向图,若从 到 存在通路,则 到 可达,记作 。
- 性质
- 对
- 若 的基图是连通图,则 是弱连通图,简称连通图。
- 若任意 有 或 ,则 是单向连通图。
- 若任意 有 ,则 是强连通图。
- 强连通图是单向连通图,单向连通图是弱连通图。
- 是强连通图 中存在经过每个结点至少一次的回路。
- 是单向连通图 中存在经过每个结点至少一次的通路。
- 对
- 基本定义
- 二分图
- 定义
- 设 为无向图,若可以划分 为 ,且 中任意的边的端点分别在 ,则 为二分图。
- 二分图记作 。
- 若 中任意结点都与 中结点相邻,则 为完全二分图,记作 ,其中 。
- 性质
- 阶无向图 是二分图 中无奇圈。
- 定义
- 通路和回路
- 图的矩阵表示
- 无向图的关联矩阵
- 定义
- 已知无向图 ,,。
- 定义 的关联矩阵 ,其中 为 与 的关联次数。
- 性质
- 中一列对应一条边,每一列的和 。
- 中一行对应一个点,每一行的和 。
- 握手定理:。
- 与 是平行边 中第 列与第 列相同。
- 定义
- 有向图的关联矩阵
- 定义
- 已知有向图 ,,。
- 定义 的关联矩阵 ,其中 按照如下取值:
- 若 是 的始点,则 。
- 若 是 的终点,则 。
- 否则 。
- 性质
- 中每一列的和 ,恰好分别存在一个 。
- 中每一行有 ,。
- 握手定理:
- 与 是平行边 中第 列与第 列相同。
- 定义
- 邻接矩阵
- 无向图的关联矩阵