图论基础

    • 定义
      • 基本内容
        • 定义集合 A,BA,B 的无序积为 A&B={(a,b)aAbB}A\operatorname{\&}B=\{ (a,b) \mid a \in A \land b \in B \}
        • 定义无向图 G=V,EG=\langle V,E \rangle,满足
          • VV 为非空有穷集,称为点集,元素称为结点,记作 V(G)V(G)
          • EEV&VV\operatorname{\&}V 的有穷多重子集,称为边集,元素称为无向边,记作 E(G)E(G)
        • 定义有向图 D=V,ED=\langle V,E \rangle,满足
          • VV 与无向图定义相同。
          • EEV×VV\times V 的有穷多重子集。
        • 定义图的结点数为图的阶,nn 个结点的图称为 nn 阶图,V(G)=n|V(G)| = n
      • 关联和相邻
        • 关联:已知 ek=(vi,vj)e_k=(v_i,v_j),则 eke_kvi,vjv_i,v_j 关联。
          • vi=vjv_i=v_j,则 eke_kvi,vjv_i,v_j 的关联次数为 22
          • vivjv_i\ne v_j,则为 11
          • vlvivlvjv_l\ne v_i\land v_l\ne v_j,则 eke_kvlv_l 的关联次数为 00
        • 相邻:已知 ek=(vi,vj)e_k=(v_i,v_j),则 viv_ivjv_j 相邻。
        • 对无向图 G=V,EG=\langle V,E\rangle
          • 邻域:NG(v)={uuVuv(u,v)E}N_G(v) = \{ u \mid u \in V \land u \ne v \land (u,v) \in E\}
          • 闭邻域:NG(v)=NG{v}\overline N_G(v) = N_G \cap \{ v\}
          • 关联集:IG(v)={eeEeI_G(v) = \{ e \mid e \in E \land evv 关联 }\}
        • 对有向图 D=V,ED=\langle V,E\rangle
          • 后继元素:Γ+(v)={uuVv,uE}\Gamma^+(v) = \{ u \mid u \in V \land \langle v, u \rangle \in E\}
          • 前驱元素:Γ(v)={uuVu,vE}\Gamma^-(v) = \{ u \mid u \in V \land \langle u,v \rangle \in E\}
          • 邻域:ND(v)=Γ+(v)Γ(v)N_D(v) = \Gamma^+(v) \cap \Gamma^-(v)
          • 闭邻域:ND(v)=ND(v){v}\overline N_D(v) = N_D(v) \cap \{v\}
        • 平行边:关联一对结点的边的个数大于 11 的边。重复的次数称为重数。
        • 简单图:没有平行边的图。
      • 度数
        • 度数:
          • 对无向图,vv 作为边的端点的次数称为度数,记作 dG(v)d_G(v)
          • 对有向图,vv 作为边的终点的次数称为入度 dD+(v)d^+_D(v),作为边的起点的次数称为出度 dD(v)d^-_D(v),度为 dD(v)=dD+(v)+dD(v)d_D(v) = d^+_D(v)+d^-_D(v)
        • 对无向图,最大度 Δ(G)=maxvV{dG(v)}\Delta(G)=\displaystyle\max_{v\in V} \{d_G(v)\},最小度 δ(G)=minvV{dG(v)}\delta(G) = \displaystyle\min_{v\in V}\{d_G(v)\}。对有向图的度有类似定义。
        • 悬挂结点:度数为 11 的结点
        • 悬挂边:与悬挂结点关联的边
        • 奇 / 偶度结点:度数为奇 / 偶数的结点
      • 特殊图
        • 零图:边集为空的图,nn 阶零图记作 NnN_nN1N_1 称为平凡图。
        • 空图:点集为空的图,记作 \varnothing
        • 标定图:图的结点和边都有编号的图,否则为非标定图。
        • 基图:将有向图的边都修改为无向后得到的图。
        • 完全图:nn 阶无向完全图记作 KnK_nnn 阶有向完全图在每一对结点之间都有双向的边。若 nn 阶有向图的基图为 KnK_n,则其为 nn 阶竞赛图。
        • 正则图:度数均为 kk 的无向图称为 kk-正则图。
      • 图的关系
        • 同构:对于图 G1=V1,E1,G2=V2,E2G_1=\langle V_1,E_1\rangle,G_2=\langle V_2,E_2\rangle,存在双射 f:V1V2f:V_1\to V_2,满足 (v1,v2)E1    (f(v1),f(v2))E2(v_1,v_2)\in E_1 \iff (f(v_1),f(v_2))\in E_2,且对应边重数相同,则 G1,G2G_1,G_2 同构,记作 G1G2G_1\cong G_2
        • 子图:已知 G=V,E,G=V,EG=\langle V,E\rangle,G'=\langle V',E'\rangle,若 VV,EEV'\subseteq V,E'\subseteq E,则 GG'GG 的子图,记作 GGG'\subseteq GGGGG' 的母图。
        • 真子图:G=V,EG=V,EG=\langle V,E\rangle \supseteq G'=\langle V',E'\rangle,若 VVV' \ne VEEE'\ne E,则 GG'GG 的真子图。
        • 生成子图:G=V,EG=V,EG=\langle V,E\rangle \supseteq G'=\langle V',E'\rangle,若 V=VV'=V,则 GG'GG 的生成子图。
        • 导出子图:G=V,EG=V,EG=\langle V,E\rangle \supseteq G'=\langle V',E'\rangle
          • E={(v1,v2)v1,v2V(v1,v2)E}E' = \{(v_1,v_2) \mid v_1,v_2\in V' \land (v_1,v_2)\in E\},则 GG'GGVV' 导出的子图,记作 G[V]G[V']
          • V={vv(vV(v,v)E)}V' = \{v \mid \exists v' (v'\in V \land (v,v') \in E')\},则 GG'GGEE' 导出的子图,记作 G[E]G[E']
        • 补图:G=V,EG=\langle V,E\rangle,令 E={(u,v)u,vV(u,v)E}\overline E = \{ (u,v) \mid u,v \in V \land (u,v) \notin E\},则 G=V,E\overline G = \langle V,\overline E\rangleGG 的补图。
        • 自补图:若 GGG \cong \overline G,则 GG 为自补图。
    • 性质
      • 度数
        • 握手定理:
          • G=V,EG=\langle V,E\rangledG(vi)=2E\displaystyle\sum d_G(v_i) = 2|E|
          • D=V,ED=\langle V,E\rangledD(vi)=2E\displaystyle\sum d_D(v_i) = 2|E|dD+(vi)=dD(vi)=E\displaystyle\sum d^+_D(v_i) = \sum d^-_D(v_i) = |E|
        • 可图化:
          • 已知度数列 (d1,d2,,dn)(d_1,d_2,\dots,d_n),若存在 G=V={v1,v2,,vn},EG=\langle V=\{v_1,v_2,\dots,v_n\},E\rangle,满足 di=dG(vi)d_i=d_G(v_i),则度数列可图化。
          • GG 可以为简单图,则度数序列简单可图化。
          • 对有向图可以有出度列和入度列。
          • (d1,d2,,dn)(d_1,d_2,\dots,d_n) 可图化     (d1,d2,,dn)\iff (d_1,d_2,\dots,d_n) 满足 i=1ndi\displaystyle\sum_{i=1}^n d_i 为偶数。
          • 简单可图化必要条件:Δ(G)n1\Delta(G) \le n - 1
  • 图的连通性
    • 通路和回路
      • 定义
        • G=V,EG = \langle V,E\rangle 为无向标定图,结点与边的交替序列 Γ=vi0ej1vi1ej2vi2ejlvjl\mathcal\Gamma = v_{i_0}e_{j_1}v_{i_1}e_{j_2}v_{i_2}\dots e_{j_l}v_{j_l} 称为 vi0v_{i_0}vilv_{i_l} 的通路。
        • Γ\mathcal\Gammavi0=vilv_{i_0}=v_{i_l},则 Γ\mathcal\Gamma 称为回路。
        • Γ\mathcal\Gamma 中边都不同,则 Γ\mathcal\Gamma 是简单通路,否则有边重复出现,Γ\mathcal\Gamma 为复杂通路。
        • Γ\mathcal\Gamma 中边都不同且 vi0=vilv_{i_0}=v_{i_l},则 Γ\mathcal\Gamma 是简单回路,否则有边重复出现,Γ\mathcal\Gamma 为复杂回路。
        • Γ\mathcal\Gamma 中所有点和边都不同,则 Γ\mathcal\Gamma 是初级通路 / 路径。
        • Γ\mathcal\Gamma 中除了 vi0=vilv_{i_0}=v_{i_l} 所有点和边都不同,则 Γ\mathcal\Gamma 是初级回路 / 圈。
        • 定义长度为 Γ\mathcal\Gamma 边的个数。
        • 对于有向图有类似定义。
      • 性质
        • nn 阶图中,若 uvu\ne v 且存在 uuvv 的通路,则存在 uuvv 的长度小于等于 n1n-1 的初级通路 / 路径。
        • nn 阶图中,若存在 vv 到自身的回路,则存在 vv 到自身的长度小于等于 nn 的回路。
        • nn 阶图中,若存在 vv 到自身的简单回路,则存在 vv 到自身的长度小于等于 nn 的初级回路 / 圈。
    • 无向图连通性
      • 基本定义
        • G=V,EG = \langle V,E\rangle 为无向图,若 u,vVu,v\in V 之间存在通路,则 u,vu,v 连通,记作 uvu\sim v
        • GG 是平凡图或任意两个结点都是连通的,则 GG 是连通图,否则为非连通图。
        • 连通关系 \sim 是一个等价关系ViV_iVV 的一个等价类,则 G[Vi]G[V_i] 是一个连通分支。
        • GG 的连通分支数记作 p(G)p(G)nn 阶图中,KnK_n 有最小 p=1p=1NnN_n 有最大 p=np=n
        • u,vu,v 之间最短路径的长度为距离 d(u,v)d(u,v),若 u≁vu\not\sim v,则 d(u,v)=d(u,v)=\infty
      • 连通程度
        • G=V,EG = \langle V,E\rangle
          • VVV'\subset V 使得 p(GV)>p(G)p(G-V')>p(G),且任意 VVV'' \subset V' 满足 p(GV)=p(G)p(G-V'')=p(G),则 VV' 为点割集。
          • V=1|V'|=1,则 VV' 中的唯一元素 vv 称为割点。
          • EEE'\subset E 使得 p(GE)>p(G)p(G-E')>p(G),且任意 EEE'' \subset E' 满足 p(GE)=p(G)p(G-E'')=p(G),则 EE' 为边割集。
          • E=1|E'|=1,则 EE' 中的唯一元素 ee 称为割边 / 桥。
        • 点连通度:已知 GG 为连通图,定义 κ(G)=minV\kappa(G) = \min |V'|,其中 VV'GG 的点割集。
          • 规定 κ(Kn)=n1\kappa(K_n) = n - 1,非连通图的 κ=0\kappa = 0
          • κ(G)k\kappa(G) \ge k,则 GGkk-连通图。kk-连通图至少需要删除 kk 个点才可能使其不连通。
        • 边连通度:已知 GG 为连通图,定义 λ(G)=minE\lambda(G) = \min |E'|,其中 EE'GG 的边割集。
          • 规定非连通图的 λ=0\lambda=0
          • λ(G)k\lambda(G) \ge k,则 GGkk 边-连通图。kk 边-连通图至少需要删除 kk 条边才可能使其不连通。
        • 已知 G1,G2G_1,G_2 为连通图
          • κ(G1)>κ(G2)\kappa(G_1)>\kappa(G_2),则 G1G_1 的点连通程度高。
          • λ(G1)>λ(G2)\lambda(G_1)>\lambda(G_2),则 G1G_1 的边连通程度高。
        • 对任意无向图 GG,有 κ(G)λ(G)δ(G)\kappa(G) \le \lambda(G) \le \delta(G)
    • 有向图连通性
      • 基本定义
        • D=V,ED=\langle V,E\rangle 为有向图,若从 uuvv 存在通路,则 uuvv 可达,记作 uvu \to v
          • uvu\to vvuv \to u,则 u,vu,v 相互可达,记作 uvu \leftrightarrow v
          • 规定 uuu \to u
        • \to\leftrightarrow 都是二元关系,其中 \leftrightarrow 是等价关系。
        • uuvv 的最短路径的长度为距离 du,vd\langle u,v\rangledu,vd\langle u,v\rangle 相比 d(u,v)d(u,v) 没有对称性。
      • 性质
        • D=V,ED=\langle V,E\rangle
          • DD 的基图是连通图,则 DD 是弱连通图,简称连通图。
          • 若任意 u,vVu,v \in Vuvu\to vvuv \to u,则 DD 是单向连通图。
          • 若任意 u,vVu,v \in Vuvu \leftrightarrow v,则 DD 是强连通图。
          • 强连通图是单向连通图,单向连通图是弱连通图。
        • D=V,ED=\langle V,E\rangle 是强连通图     \iff DD 中存在经过每个结点至少一次的回路。
        • D=V,ED=\langle V,E\rangle 是单向连通图     \iff DD 中存在经过每个结点至少一次的通路。
    • 二分图
      • 定义
        • G=V,EG = \langle V,E\rangle 为无向图,若可以划分 VVV1,V2V_1,V_2,且 EE 中任意的边的端点分别在 V1,V2V_1,V_2,则 GG 为二分图。
        • 二分图记作 V1,V2,E\langle V_1,V_2,E\rangle
        • V1V_1 中任意结点都与 V2V_2 中结点相邻,则 GG 为完全二分图,记作 Kr,sK_{r,s},其中 V1=r,V2=s|V_1|=r,|V_2|=s
      • 性质
        • n (n2)n\ (n\ge 2) 阶无向图 GG 是二分图     \iff GG 中无奇圈。
  • 图的矩阵表示
    • 无向图的关联矩阵
      • 定义
        • 已知无向图 G=V,EG=\langle V,E\rangleV={v1,v2,,vn}V = \{v_1,v_2,\dots,v_n\}E={e1,e2,,em}E=\{e_1,e_2,\dots,e_m\}
        • 定义 GG 的关联矩阵 M(G)=(mij)n×mM(G) = (m_{ij})_{n\times m},其中 mijm_{ij}viv_ieje_j 的关联次数。
      • 性质
        • M(G)M(G) 中一列对应一条边,每一列的和 i=1nmij=2\displaystyle\sum_{i=1}^n m_{ij} = 2
        • M(G)M(G) 中一行对应一个点,每一行的和 j=1mmij=dG(vi)\displaystyle\sum_{j=1}^m m_{ij} = d_G(v_i)
        • 握手定理:i=1nj=1mmij=2m\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m m_{ij} = 2m
        • eie_ieje_j 是平行边     \iff M(G)M(G) 中第 ii 列与第 jj 列相同。
    • 有向图的关联矩阵
      • 定义
        • 已知有向图 D=V,ED=\langle V,E\rangleV={v1,v2,,vn}V = \{v_1,v_2,\dots,v_n\}E={e1,e2,,em}E=\{e_1,e_2,\dots,e_m\}
        • 定义 DD 的关联矩阵 M(D)=(mij)n×mM(D) = (m_{ij})_{n\times m},其中 mijm_{ij} 按照如下取值:
          • viv_ieje_j 的始点,则 mij=1m_{ij}=1
          • viv_ieje_j 的终点,则 mij=1m_{ij}=-1
          • 否则 mij=0m_{ij}=0
      • 性质
        • M(G)M(G) 中每一列的和 i=1nmij=0\displaystyle\sum_{i=1}^n m_{ij} = 0,恰好分别存在一个 1,11,-1
        • M(G)M(G) 中每一行有 j=1m1{mij=1}=dG+(vi)\displaystyle\sum_{j=1}^m 1\{m_{ij}=1\} = d^+_G(v_i)j=1m1{mij=1}=dG(vi)\displaystyle\sum_{j=-1}^m 1\{m_{ij}=-1\} = d^-_G(v_i)
        • 握手定理:i=1nj=1m1{mij=1}=i=1nj=1m1{mij=1}=dG(vi)=m\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m 1\{m_{ij}=1\} = \displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=-1}^m 1\{m_{ij}=-1\} = d^-_G(v_i) = m
        • eie_ieje_j 是平行边     \iff M(G)M(G) 中第 ii 列与第 jj 列相同。
    • 邻接矩阵