一阶逻辑

• 定义
  • 个体词：常项或变项，变项的取值范围称为个体域或论域。
  • 谓词
    • 表示个体词性质或关系的词。记作 $P(x),P(x_1,x_2,\dots)$ 等。
    • 对于某个个体域，谓词中变量取遍所有个体，如果谓词的值不同，则谓词不是命题，如果值相同，则为命题。
  • 量词
    • 全称量词 $\forall$：$\forall x F(x)$ 表示个体域中所有 $x$ 具有 $F(x)$ 性质。
• 一阶公式
  • 一阶语言
    • 设 $L$ 是非逻辑符号集合。
    • 一阶语言 $\mathcal L$ 由 $L$ 中的非逻辑符号和逻辑符号组成：
      • $L$ 中的非逻辑符号：个体常项、函数、谓词。
      • 逻辑符号：个体变项、量词、联结词、逗号、括号。
  • 公式
    • 定义 $\mathcal L$ 的项：
      • 个体常项、个体变项是项。
      • 如果 $f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ 是函数，$t_1,t_2,\dots,t_n$ 是项，则 $f(t_1,t_2,\dots,t_n)$ 是项。
      • 按照以上规则组合有限次得到的是项。
    • 定义 $\mathcal L$ 的原子公式：$P(x_1,x_2,\dots,x_n)$ 是谓词，$t_1,t_2,\dots,t_n$ 是项，则 $P(t_1,t_2,\dots,t_n)$ 是原子公式。
    • 定义 $\mathcal L$ 的合式公式：类似命题逻辑定义。
    • 定义辖域：
      • 在公式 $\forall x A$ 和 $\exists xA$ 中，$x$ 是指导变元，$A$ 是对应量词的辖域，表示 $x$ 的作用范围。
      • $A$ 中的所有 $x$ 的出现都是约束出现，$A$ 中的其他不是约束出现的个体变项是自由出现。
  • 解释
    • $\mathcal L$ 的解释 $I$ 由以下组成：
      • 非空个体域 $D_I$。
      • 对于每一个 $a \in L$，有一个 $\overline a \in D_I$ 与其对应。
      • 对于每一个 $n$ 元函数 $f\in L$，有一个 $\overline f: D_I^n \longmapsto D_I$。
      • 对于每一个 $n$ 元谓词 $P\in L$，有一个 $D_I$ 上的谓词常项 $\overline P$。
  • 闭式
    • 如果 $A$ 中不含自由出现的个体变项，则 $A$ 是闭式。
    • 闭式在任何解释下都是命题，而非闭式则不一定。
  • 代换实例
    • $A$ 中有个体变项 $p_1,p_2,\dots,p_n$，将其中 $p_i$ 用 $A_i$ 代替，则得到的公式 $A'$ 是 $A$ 的代换实例。
    • 重言式的代换实例都是重言式，矛盾式的代换实例都是矛盾式。