代数系统
- 二元运算
- 定义
- 为集合, 称为 上的二元运算。
- 中任意两个元素可以运算,且运算结果属于 。
- 性质
- 交换律:
- 结合律:
- 分配律: 对 可分配,左分配律 ,右分配律 。
- 幂等律:
- 吸收律:可交换的 具有吸收律,
- 单位元
- 为 上的二元运算,,若存在 或 ,且 或 则 为左单位元或 为右单位元。
- 若 为左单位元和右单位元,则 为唯一的单位元。
- 零元
- 为 上的二元运算,,若存在 或 ,且 或 则 为左零元或 为右零元。
- 若 为左零元和右零元,则 为零元。
- 中有单位元 和零元 ,若 ,则 。
- 逆元
- 为 上的二元运算,,若存在 或 ,且 或 则 为 的左逆元或 为 的右逆元。
- 若 为 的左逆元和右单位元,则 为 的逆元,并且唯一,记作 , 可逆。
- 左逆元和右逆元不一定唯一。
- 定义
- 代数系统
- 定义
- 已知非空集合 , 个二元或一元运算 ,则 为代数系统,简称代数。
- 有时强调代数系统包含某些特定的元素,将其称为代数常数,代数记作 。
- 子代数
- 已知 ,,若 对 都封闭且包含 中所有代数常数,则 为 的子代数。
- 是 的最大子代数。
- 若 仅包含 中的代数常数且封闭,则 构成的子代数为最小子代数。
- 的最大和最小子代数称为平凡子代数。
- 若 ,则 构成的子代数为 的真子代数。
- 积代数
- 已知 ,定义 。
- 为 的积代数,记作 , 为 的因子代数。
- 如果 是可交换 / 可结合 / 幂等的,则 是可交换 / 可结合 / 幂等的。
- 如果 / 分别是 的单位元 / 零元,则 / 是 的单位元 / 零元。
- 如果 是 的可逆元素,则 是 的可逆元素,。
- 同态和同构
- 已知 ,如果存在 满足 ,则 同态。
- 同态的分类:
- 如果 是单射,则 称为单同态。
- 如果 是满射,则 称为满同态, 是 的同态像,记作 。
- 如果 是双射,则 称为同构,记作 。
- 如果 ,则 称为自同态。
- 同态可以保持运算律和元素性质
- 如果 满足某运算律,则 中 也满足(消去律除外)。
- 如果 是某特殊元素,则 中 也是同种特殊元素。
- 定义