代数系统

  • 二元运算
    • 定义
      • SS集合f:S×SSf:S\times S \to S 称为 SS 上的二元运算。
      • SS 中任意两个元素可以运算,且运算结果属于 SS
    • 性质
      • 交换律:xy=yxx\circ y=y\circ x
      • 结合律:(xy)z=x(yz)(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)
      • 分配律:\circ\star 可分配,左分配律 x(yz)=(xy)(xz)x\circ(y\star z) = (x\circ y) \star (x\circ z),右分配律 (yz)x=(yx)(zx)(y\star z)\circ x=(y\circ x)\star(z\circ x)
      • 幂等律:xx=xx\circ x=x
      • 吸收律:可交换的 ,\circ,\star 具有吸收律,x(xy)=x,x(xy)=xx \circ (x \star y) = x,x \star (x \circ y)=x
    • 单位元
      • \circSS 上的二元运算,xSx\in S,若存在 ele_lere_r,且 elx=xe_l\circ x=xxer=xx\circ e_r=xele_l 为左单位元或 ere_r 为右单位元。
      • ee 为左单位元和右单位元,则 ee 为唯一的单位元。
    • 零元
      • \circSS 上的二元运算,xSx\in S,若存在 θl\theta_lθr\theta_r,且 θlx=θl\theta_l\circ x=\theta_lxθr=θrx\circ \theta_r=\theta_rθl\theta_l 为左零元或 θr\theta_r 为右零元。
      • θ\theta 为左零元和右零元,则 θ\theta 为零元。
      • SS 中有单位元 ee 和零元 θ\theta,若 S>1|S|>1,则 eθe \ne \theta
    • 逆元
      • \circSS 上的二元运算,xSx\in S,若存在 yly_lyry_r,且 ylx=ey_l\circ x=exer=ex\circ e_r=eyly_lxx 的左逆元或 yry_rxx 的右逆元。
      • yyxx 的左逆元和右单位元,则 yyxx 的逆元,并且唯一,记作 y=x1y=x^{-1}xx 可逆。
      • 左逆元和右逆元不一定唯一。
  • 代数系统
    • 定义
      • 已知非空集合 SSkk 个二元或一元运算 fif_i,则 S,f1,,fk\langle S,f_1,\dots,f_k \rangle 为代数系统,简称代数。
      • 有时强调代数系统包含某些特定的元素,将其称为代数常数,代数记作 S,f1,,fk,x1,x2,\langle S,f_1,\dots,f_k,x_1,x_2,\dots \rangle
    • 子代数
      • 已知 V=S,f1,,fkV=\langle S,f_1,\dots,f_k \rangleBSB \subseteq S,若 BBfif_i 都封闭且包含 SS 中所有代数常数,则 B,f1,,fk\langle B,f_1,\dots,f_k \rangleVV 的子代数。
      • VVVV 的最大子代数。
      • BB 仅包含 VV 中的代数常数且封闭,则 BB 构成的子代数为最小子代数。
      • VV 的最大和最小子代数称为平凡子代数。
      • BSB\ne S,则 BB 构成的子代数为 VV 的真子代数。
    • 积代数
      • 已知 V1=A,,V2=B,V_1=\langle A,\circ \rangle,V_2=\langle B,\star \rangle,定义 a1,b1a2,b2=a1a2,b1b2\langle a_1,b_1\rangle \cdot \langle a_2,b_2\rangle = \langle a_1 \circ a_2, b_1 \star b_2 \rangle
      • V=A×B,V=\langle A\times B,\cdot \rangleV1,V2V_1,V_2 的积代数,记作 V=V1×V2V=V_1\times V_2V1,V2V_1,V_2VV 的因子代数。
      • 如果 V1,V2V_1,V_2 是可交换 / 可结合 / 幂等的,则 VV 是可交换 / 可结合 / 幂等的。
      • 如果 e1,e2e_1,e_2 / θ1,θ2\theta_1,\theta_2 分别是 V1,V2V_1,V_2 的单位元 / 零元,则 e1,e2\langle e_1,e_2 \rangle / θ1,θ2\langle \theta_1,\theta_2 \rangleV1×V2V_1\times V_2 的单位元 / 零元。
      • 如果 x,yx,yV1,V2V_1,V_2 的可逆元素,则 x,y\langle x,y\rangleV1×V2V_1\times V_2 的可逆元素,x,y1=x1,y1\langle x,y\rangle^{-1}=\langle x^{-1},y^{-1}\rangle
    • 同态和同构
      • 已知 A,,B,\langle A,\circ \rangle,\langle B,\star \rangle,如果存在 f:ABf:A\to B 满足 f(ab)=f(a)f(b)f(a \circ b) = f(a) \star f(b),则 A,BA,B 同态。
      • 同态的分类:
        • 如果 ff 是单射,则 ff 称为单同态。
        • 如果 ff 是满射,则 ff 称为满同态, V2V_2V1V_1 的同态像,记作 ABA\sim B
        • 如果 ff 是双射,则 ff 称为同构,记作 ABA \cong B
        • 如果 A=BA=B,则 ff 称为自同态。
      • 同态可以保持运算律和元素性质
        • 如果 \circ 满足某运算律,则 f(V1)f(V_1)\star 也满足(消去律除外)。
        • 如果 aa 是某特殊元素,则 f(V1)f(V_1)f(a)f(a) 也是同种特殊元素。