三角级数

• 三角级数
  • 三角级数定义为以下的函数项级数： $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$
• 三角函数系正交性
  • 三角函数系是 $1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\dots,\cos nx,\sin nx,\dots$。
  • 定义两个函数 $f(x),g(x)$ 的内积为 $\langle f(x),g(x)\rangle := \int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)\mathrm dx$
  • 如果 $\langle f(x),g(x)\rangle=0$，则 $f(x),g(x)$ 正交。
  • 三角函数系中的任意两个函数正交。
• 傅里叶级数
  • 傅里叶系数
    • 假设 $f(x)$ 可以展开为三角级数，则考虑求其系数。
    • 可以利用级数与系数对应的函数做内积，其他项等于 $0$。
    • 由此得到傅里叶系数：
      • $a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\mathrm dx, n\in \mathrm N$
      • $b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\mathrm dx, n\in \mathrm N^*$
  • 定义
    • 定义满足系数是傅里叶系数的三角级数是傅里叶级数。
    • 当 $f(x)$ 满足狄利克雷条件时，傅里叶级数收敛到 $f(x)$：
      • 函数在一个周期内连续或只有有限个间断点；
      • 在一个周期内只有有限个极值点。
    • 满足狄利克雷条件时，傅里叶级数收敛情况：
      • 当 $x$ 处连续时，级数收敛到 $f(x)$；
      • 当 $x$ 处间断时，级数收敛到 $\dfrac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$。