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泰勒公式

泰勒公式

  • 定义
    • 带皮亚诺余项的泰勒公式
      • 设函数 f(x)f(x) 在 x0x_0 的某邻域有 n−1n-1 阶导数， x0x_0 处有 nn 阶导数，则 f(x)=∑k=0nf(k)(x0)k!(x−x0)k+o((x−x0)n)f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)。
      • 等号右边称为 f(x)f(x) 在 x0x_0 处的带皮亚诺余项的 nn 阶泰勒公式。
      • o((x−x0)n)o((x-x_0)^n) 是皮亚诺余项。
      • 求和项称为 f(x)f(x) 在 x0x_0 处的 nn 阶泰勒多项式。
    • 带拉格朗日余项的泰勒公式
      • 设函数 f(x)f(x) 在 x0x_0 的某邻域 n+1n+1 阶可导，则 f(x)=∑k=0nf(k)(x0)k!(x−x0)k+f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1 (ξ∈(min⁡{x,x0},max⁡{x,x0})f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\ (\xi\in(\min\{x,x_0\},\max\{x,x_0\})。
      • 等号右边称为 f(x)f(x) 在 x0x_0 处的带拉格朗日余项的 nn 阶泰勒公式。
      • f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} 是拉格朗日余项。
    • 麦克劳林公式
      • 函数 f(x)f(x) 在 00 处的泰勒公式称为麦克劳林公式，因此有：
        • 带皮亚诺余项的麦克劳林公式：f(x)=∑k=0nf(k)(x0)k!xk+o(xn)f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}x^k+o(x^n)。
        • 带拉格朗日余项的麦克劳林公式：f(x)=∑k=0nf(k)(x0)k!xk+f(n+1)(ξ)(n+1)!xn+1 (ξ∈(min⁡{x,0},max⁡{x,0})f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}x^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}\ (\xi\in(\min\{x,0\},\max\{x,0\})。
          • 其中拉格朗日余项还可以写成 f(n+1)(θx)(n+1)!xn+1 (θ∈(0,1))\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}\ (\theta\in(0,1))。
  • 常用公式
    • ex=1+x+x22!+x33!⋯+xnn!+eθxxn+1(n+1)!e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\cdots+\frac{x^n}{n!}+\frac{e^{\theta x}x^{n+1}}{(n+1)!}
    • ln⁡(1+x)=x−x22+x33+⋯+(−1)n−1xnn+(−1)nxn+1(n+1)(1+θx)n+1\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{(n+1)(1+\theta x)^{n+1}}
    • 11+x=1−x+x2−x3+⋯+(−1)nxn+(−1)n+1xn+1(1+θx)n+2\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^n x^n+(-1)^{n+1}\frac{x^{n+1}}{(1+\theta x)^{n+2}}
    • (1+x)α=1+αx+α(α−1)2x2+⋯+Cαnxn+Cαn+1(1+θx)α−n−1xn+1(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\cdots+C_\alpha^n x^n+C_\alpha^{n+1}(1+\theta x)^{\alpha-n-1}x^{n+1}
    • sin⁡x=x−x33!+x55!+⋯+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!+sin⁡(θx+(2n+1)π2)x2n+1(2n+1)!\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\frac{\sin\left(\theta x+\frac{(2n+1)\pi}{2}\right)x^{2n+1}}{(2n+1)!}
    • cos⁡x=1−x22!+x44!+⋯+(−1)nx2n(2n)!+cos⁡(θx+(n+1)π)x2n+2(2n+2)!\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\frac{\cos\left(\theta x+(n+1)\pi\right)x^{2n+2}}{(2n+2)!}
    • 如果余项为皮亚诺余项，可以对求解的函数中各个部分分别求解泰勒公式，再利用四则运算或复合运算得到整体答案，如 xe−x2xe^{-x^2} 的麦克劳林公式、ln⁡(2+x)\ln(2+x) 在 −1-1 处的泰勒公式。
  • 多元函数的泰勒公式
    • 拉格朗日余项
      • 设多元函数 f(x,y)f(x,y) 在 (x0,y0)(x_0,y_0) 的某邻域有 n+1n+1 阶连续偏导数。
      • f(x,y)=∑k=0n1k![(x−x0)∂∂x+(y−y0)∂∂y]kf(x,y)+Rnf(x,y)=\sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!}\left[(x-x_0)\frac{\partial}{\partial x}+(y-y_0)\frac{\partial}{\partial y}\right]^k f(x,y)+R_n。
      • 其中 Rn=1(n+1)![(x−x0)∂∂x+(y−y0)∂∂y]n+1f(x0+θ(x−x0),y0+θ(y−y0))R_n=\frac{1}{(n+1)!}\left[(x-x_0)\frac{\partial}{\partial x}+(y-y_0)\frac{\partial}{\partial y}\right]^{n+1} f(x_0+\theta(x-x_0),y_0+\theta(y-y_0)) 是拉格朗日余项。
    • 皮亚诺余项
      • 设多元函数 f(x,y)f(x,y) 在 (x0,y0)(x_0,y_0) 的某邻域有 n+1n+1 阶连续偏导数。
      • f(x,y)=∑k=0n1k![(x−x0)∂∂x+(y−y0)∂∂y]kf(x,y)+o(ρn)f(x,y)=\sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!}\left[(x-x_0)\frac{\partial}{\partial x}+(y-y_0)\frac{\partial}{\partial y}\right]^k f(x,y)+o(\rho^n)。
      • 其中 ρ=(x−x0)2+(y−y0)2\rho=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}，o(ρn)o(\rho^n) 是皮亚诺余项。
  • 应用
    • 近似计算
      • 已知函数 f(x)f(x) 在 x0x_0 处的函数值与各阶导数值，则可以应用泰勒公式，利用多项式近似计算。
      • 误差分析利用拉格朗日余项 f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}。
    • 求极限
      • 求极限时如果无法运用常见等价无穷小，则可以将计算式中的复杂函数展开。
      • 求极限的分式中，对分母一般展开到出现非高阶无穷小项，对分子的展开的阶数一般为分母的最低次数。
      • 如 lim⁡x→0x2−sin⁡x+xx−ln⁡(1+x)\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2-\sin x+x}{x-\ln(1+x)}。
        • 对于分母，展开 ln⁡(1+x)\ln(1+x) 到 22 阶，分母等于 x−(x−x22+o(x2))=x22+o(x2)x-(x-\frac{x^2}{2}+o(x^2))=\frac{x^2}{2}+o(x^2)，已经足够。
        • 对于分子，因为分母的最低次数为 22，所以展开 sin⁡x\sin x 到 22 阶，分子等于 x2−(x+o(x2))+x=x2+o(x2)x^2-(x+o(x^2))+x=x^2+o(x^2)。
        • 最后原式等于 lim⁡x→0x2+o(x2)12x2+o(x2)=2\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2+o(x^2)}{\frac{1}{2}x^2+o(x^2)}=2。
    • 求无穷小的阶数
      • 对一个无穷小 α(x)\alpha(x) 中的复杂部分进行展开，化 α(x)\alpha(x) 为 k(x−x0)n+o((x−x0)n)k(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)，则 lim⁡x→x0α(x)(x−x0)n=k\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{(x-x_0)^n}=k，α(x)\alpha(x) 为 x−x0x-x_0 的 kk 阶无穷小。
    • 不等式证明
      • 移项构造函数后，将函数中的复杂部分进行展开，与其他部分相消，剩下较为简单的项和拉格朗日余项，根据余项的取值证明不等式。
      • 如 ex>12x2+x+1e^x>\frac{1}{2}x^2+x+1。
        • 令 f(x)=ex−12x2−x−1 (x>0)f(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2-x-1\ (x>0)。
        • f(x)=(1+x+12x2+eθx6x3)−12x2−x−1=eθx6x3 (θ∈(0,1))f(x)=(1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{e^{\theta x}}{6}x^3)-\frac{1}{2}x^2-x-1=\frac{e^{\theta x}}{6}x^3\ (\theta\in(0,1))。
        • eθx6x3>e06x3>0\frac{e^{\theta x}}{6}x^3>\frac{e^0}{6}x^3>0，即 f(x)>0f(x)>0。
        • 则 ex>12x2+x+1e^x>\frac{1}{2}x^2+x+1。
    • 求导数值
      • 根据 f(x)=∑k=0nf(k)(x0)k!(x−x0)k+o((x−x0)n)f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)，如果 (x−x0)k(x-x_0)^k 项的系数为 aka_k，则 f(k)(x0)=k!akf^{(k)}(x_0)=k!a_k。
      • 该方法应用在求复杂函数的高阶导数值上，这个复杂函数是若干个简单部分的组合，则可以对各部分应用泰勒公式，在将它们组合起来，得到整体的泰勒公式，进而求出导数值。
      • 如已知 f(x)=x31+xf(x)=\frac{x^3}{\sqrt{1+x}}，求 f(6)(0)f^{(6)}(0)。
        • f(x)=x3(1+x)−12=x3(1−12x+38x2−516x3+o(x3))=x3−12x4+38x5−516x6+o(x3)f(x)=x^3(1+x)^{-\frac{1}{2}}=x^3(1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+o(x^3))=x^3-\frac{1}{2}x^4+\frac{3}{8}x^5-\frac{5}{16}x^6+o(x^3)
        • f(6)(0)=6!×(−516)=−225f^{(6)}(0)=6!\times\left(-\frac{5}{16}\right)=-225
洛必达法则不定积分