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数学
微积分
曲面积分

曲面积分

  • 第一类曲面积分
    • 定义
      • 设 SS 是的光滑曲面， f(x,y,z)f(x,y,z) 在 SS 上有界。
      • 将 SS 分为 Δσ1,Δσ2,…,Δσn\Delta \sigma_1,\Delta \sigma_2,\dots,\Delta \sigma_n ，对于第 ii 段任取 (ξi,ηi,ζi)(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) ，设 λ=max⁡i=1n{d(Δσi)}\lambda=\max\limits_{i=1}^n\{d(\Delta \sigma_i)\} 。
      • 如果以下极限存在且为一个数，则将其称为 f(x,y,z)f(x,y,z) 在 ss 上的第一类曲面积分： ∬Sf(x,y,z)dσ:=lim⁡λ→+∞∑i=1nf(ξi,ηi)Δsi \iint_Sf(x,y,z)\mathrm d\sigma:=\lim_{\lambda\to+\infty}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i
      • 如果 LL 是一条闭合曲线，则记作 ∯Lf(x,y,z)dσ \oiint_L f(x,y,z)\mathrm d\sigma
  • 第二类曲面积分
    • 定义
      • 设 SS 是有向光滑曲面， F(x,y)=X(x,y,z)i+Y(x,y,z)+Z(x,y,z)j\boldsymbol F(x,y)=X(x,y,z)\boldsymbol i+Y(x,y,z)+Z(x,y,z)\boldsymbol j 在 LL 上有界。
      • 将 SS 分为 Δs1,Δs2,…,Δsn\Delta s_1,\Delta s_2,\dots,\Delta s_n ， Δxi,Δyi\Delta x_i,\Delta y_i 是每一曲面的面积，(Δsi)xy(\Delta s_i)_{xy} 表示 Δsi\Delta s_i 在 xOyxOy 平面的有向投影。
      • 对于第 ii 段任取 (ξi,ηi,ζi)(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) ，设 λ=max⁡i=1n{Δsi}\lambda=\max\limits_{i=1}^n\{\Delta s_i\} 。
      • 如果以下极限存在且为一个数，则将其称为 Z(x,y,z)Z(x,y,z) 在 SS 上对 zz 的曲面积分： ∬SZ(x,y,z)dxdy:=lim⁡λ→+∞∑i=1nZ(ξi,ηi,ζi)(Δsi)xy \iint_S Z(x,y,z)\mathrm dx\mathrm dy := \lim_{\lambda\to+\infty}\sum_{i=1}^n Z(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta s_i)_{xy}
      • 同样可以定义对 x,yx,y 的曲面积分。合并后 ∬SX(x,y,z)dydz+Y(x,y,z)dzdx+Z(x,y,z)dxdy=∬SF(x,y,z)⋅ds \iint_S X(x,y,z)\mathrm dy\mathrm dz+Y(x,y,z)\mathrm dz\mathrm dx+Z(x,y,z)\mathrm dx\mathrm dy=\iint_S \boldsymbol F(x,y,z)\cdot \mathrm d\boldsymbol s
      • 第二类曲面积分需要指定是对于曲面的哪一侧积分。
      • 对于闭合曲面，默认在外侧。
    • 计算
      • 分别计算法
        • ∬SX(x,y,z)dydz=±∬DyzX(x(y,z),y,z)dydz \iint_S X(x,y,z)\mathrm dy\mathrm dz=\pm\iint_{D_{yz}} X(x(y,z),y,z)\mathrm dy\mathrm dz
        • 当 SS 取前侧时，取正号，否则取负号。投影到其他平面时，如果侧面是指向轴的正方向，则取正号。
      • 统一计算法
        • 对于曲面 S:f(x,y,z)=0S:f(x,y,z)=0： ∬SXdydz+Ydzdx+Zdxdy=∬S[X(−∂z∂x)+Y(−∂z∂y)+Z]dxdy \iint_S X\mathrm dy\mathrm dz+Y\mathrm dz\mathrm dx+Z\mathrm dx\mathrm dy=\iint_S \left[X\left(-\frac{\partial z}{\partial x}\right)+Y\left(-\frac{\partial z}{\partial y}\right)+Z\right]\mathrm dx\mathrm dy
    • 两类曲面积分的关系
      • ∬SXdydz+Ydzdx+Zdxdy=∬S(Xcos⁡α+Ycos⁡β+Zcos⁡γ)dS \iint_S X\mathrm dy\mathrm dz+Y\mathrm dz\mathrm dx+Z\mathrm dx\mathrm dy=\iint_S (X\cos\alpha+Y\cos\beta+Z\cos\gamma)\mathrm dS
  • 高斯公式
    • 设空间闭区域 Ω\Omega 由分片光滑的闭曲面 SS 围成，X,Y,ZX,Y,Z 在 Ω\Omega 上有一阶连续偏导数，则： ∯S+Xdydz+Ydzdx+Zdxdy=∭Ω(∂X∂x+∂Y∂y+∂Z∂z)dxdydz \oiint_{S^+} X\mathrm dy\mathrm dz+Y\mathrm dz\mathrm dx+Z\mathrm dx\mathrm dy=\iiint_\Omega\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz
    • SS 取外侧。
    • 使用时注意被积分的三项的顺序。
  • 曲面积分与曲面无关的条件
    • Ω\Omega 是空间单连通区域，X,Y,ZX,Y,Z 在 Ω\Omega 上有一阶连续偏导数，则当 ∂X∂x+∂Y∂y+∂Z∂z=0\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}=0 时，曲面积分与曲面无关，封闭曲面的积分等于 00。
  • 通量和散度
    • 通量
      • 设向量场 A=(X,Y,Z)\boldsymbol A=(X,Y,Z)，SS 为向量场中的曲面，则通过 SS 的一侧通量为 Φ:=∬SA⋅dS=∬SA⋅ndS=∬SXdydz+Ydzdx+Zdxdy \Phi:=\iint_S \boldsymbol A\cdot\mathrm d\boldsymbol S=\iint_S \boldsymbol A\cdot\boldsymbol n\mathrm dS=\iint_S X\mathrm dy\mathrm dz+Y\mathrm dz\mathrm dx+Z\mathrm dx\mathrm dy
      • 对于封闭曲面 SS，穿过 SS 的外侧的通量为 Φ:=∯S+A⋅dS \Phi:=\oiint_{S^+} \boldsymbol A\cdot\mathrm d\boldsymbol S
      • 如果 Φ>0\Phi>0，则 SS 内有源，如果 Φ<0\Phi<0，则 SS 内有汇，如果 S=0S=0，则 SS 内无源也无汇。
    • 散度
      • 设向量场 A=(X,Y,Z)\boldsymbol A=(X,Y,Z)，则定义散度为 div⁡A:=∂X∂x+∂Y∂y+∂Z∂z=∇⋅A \operatorname{div}\boldsymbol A:=\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}=\nabla\cdot\boldsymbol A
      • 散度表示 A\boldsymbol A 在场内某点的发散程度。
      • 高斯公式也可以表示为 ∯S+A⋅dS=∭Vdiv⁡Adxdydz \oiint_{S^+}\boldsymbol A\cdot\mathrm d\boldsymbol S=\iiint_V\operatorname{div}\boldsymbol A\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz
  • 斯托克斯公式
    • 设 LL 为分片光滑的空间有向闭曲线，SS 是以 LL 为边界的分片光滑的有向曲面，LL 的正向与 SS 的侧符合右手螺旋定则。
      • 设 X,Y,ZX,Y,Z 在包含 SS 内的空间区域内有一阶连续偏导数，则 ∮LXdx+Ydy+Zdz=∬S∣dydzdzdxdxdy∂∂x∂∂y∂∂zXYZ∣=∬S∣cos⁡αcos⁡βcos⁡γ∂∂x∂∂y∂∂zXYZ∣dS \oint_L X\mathrm dx+Y\mathrm dy+Z\mathrm dz= \iint_S\begin{vmatrix} \mathrm dy\mathrm dz & \mathrm dz\mathrm dx & \mathrm dx\mathrm dy \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ X & Y & Z \\ \end{vmatrix} =\iint_S\begin{vmatrix} \cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ X & Y & Z \\ \end{vmatrix}\mathrm dS
  • 环流量和旋度
    • 环流量
  • 空间曲线积分与路径无关条件
    • 空间曲线积分 ∮LXdx+Ydy+Zdz\oint_L X\mathrm dx+Y\mathrm dy+Z\mathrm dz 在与路径无关的充要条件是 ∂Z∂y=∂Y∂z,∂X∂z=∂Z∂x,∂Y∂x=∂X∂y \frac{\partial Z}{\partial y}=\frac{\partial Y}{\partial z},\frac{\partial X}{\partial z}=\frac{\partial Z}{\partial x},\frac{\partial Y}{\partial x}=\frac{\partial X}{\partial y}
曲线积分级数