立体解析几何

平面
- 方程
  - 点法式
    - $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 是空间中一点， $\boldsymbol n=(A,B,C)\ne \boldsymbol 0$ ，则过 $M_0$ 、法向量为 $\boldsymbol n$ 的平面方程为 $\overrightarrow{M_0M}\cdot\boldsymbol n=0 \iff A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
  - 一般式
    - 将点法式方程展开，并用 $D$ 代替常数项，可以得到一般式： $Ax+B+Cz+D=0$
    - 以上方程中， $A,B,C$ 不全为 $0$ 。
  - 截距式
    - 平面交 $x,y,z$ 轴于 $M_x(a,0,0),M_y(0,b,0),M_z(0,0,c)$ ，则截距式为 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$
- 相关问题
  - 平面与平面的夹角
    - 已知两个平面的方程 $\pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ 。
    - 两个平面的法向量分别为 $\boldsymbol n_1=(A_1,B_1,C_1),\boldsymbol n_2=(A_2,B_2,C_2)$ 。
    - 设 $\pi_1,\pi_2$ 夹角为 $\theta\ (0\le\theta\le\frac{\pi}{2})$ ，则 $\cos\theta=\frac{|\boldsymbol n_1\cdot\boldsymbol n_2|}{|\boldsymbol n_1||\boldsymbol n_2|}$
  - 点到平面的距离
    - 已知平面 $\pi:Ax+By+Cz+D=0$ 以及 $\pi$ 外一点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 。
    - 设 $M_0$ 到 $\pi$ 的距离为 $d$ ，则 $d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
  - 平行平面间的距离
    - 已知两个平面的方程 $\pi_1:Ax+By+Cz+D_1=0,\pi_2:Ax+By+Cz+D=0$ 。
    - 设 $\pi_1,\pi_2$ 之间的距离为 $d$ ，则 $d=\frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
  - 过同一直线的平面束
    - 已知两个平面 $\pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ 交于一条直线 $l$ 。
    - 过 $l$ 的所有平面方程为 $\lambda(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\mu(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0$ 。
    - 除了 $\pi_2$ ，过 $l$ 的所有平面方程为 $A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0$ 。
直线
- 方程
  - 一般式
    - 空间中直线可以表示为两个平面的交线，即 $\left\{\begin{matrix} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{matrix}\right.\ (A_1:B_1:C_1\ne A_2:B_2:C_2)$
    - 一般式显然不唯一。
  - 对称式
    - 设 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 是空间中一点， $\boldsymbol s=(m,n,p)\ne \boldsymbol 0$ 。
    - 过 $M_0$ 且方向向量为 $\boldsymbol s$ 的直线为 $\overrightarrow{M_0M}\parallel\boldsymbol s \iff \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$
    - 如果分母为 $0$ ，则分子也为 $0$ ，并假设该 $\frac{0}{0}$ 项可以是任何值，可以使得等式成立。
  - 参数方程 $\overrightarrow{M_0M}=t\boldsymbol s \iff \left\{\begin{matrix} x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\\ z=z_0+pt\\ \end{matrix}\right.$
- 相关问题
  - 直线与直线的夹角
    - 已知两条直线 $\ell_1:\frac{x-x_1}{m_1}=\frac{y-y_1}{n_1}=\frac{z-z_1}{p_1}=0,\ell_2:\frac{x-x_2}{m_2}=\frac{y-y_2}{n_2}=\frac{z-z_2}{p_2}=0$ 。
    - 两条直线的方向向量为 $\boldsymbol s_1=(m_1,n_1,p_1),\boldsymbol s_2=(m_2,n_2,p_2)$ 。
  - 设两条直线的夹角为 $\theta\ (0\le\theta\le\frac{\pi}{2})$ ，则 $\cos\theta=\frac{|\boldsymbol s_1\cdot\boldsymbol s_2|}{|\boldsymbol s_1||\boldsymbol s_2|}$
  - 直线与平面的夹角
    - 已知直线 $\ell:\frac{x-x_0}{m}+\frac{y-y_0}{n}+\frac{z-z_0}{p}$ 和平面 $\pi:Ax+By+Cz+D=0$ 。
    - 设直线的方向向量为 $\boldsymbol s=(m,n,p)$ ，平面的法向量为 $\boldsymbol n=(A,B,C)$ 。
    - 设直线与平面的夹角为 $\varphi\ (0\le\theta\le\frac{\pi}{2})$ ，与平面的法向量的夹角为 $\theta\ (0\le\theta\le\frac{\pi}{2})$ ，则 $\sin\varphi=\cos\theta=\frac{|\boldsymbol s\cdot\boldsymbol n|}{|\boldsymbol s||\boldsymbol n|}$
  - 直线与平面的交点
    - 一般式：直接联立直线方程与平面方程。
    - 对称式 / 参数方程：转化直线方程为参数方程的形式，然后代入平面方程。
  - 点到直线的距离
    - 方法一
      - 已知直线 $\ell:\frac{x-x_1}{m}=\frac{y-y_1}{n}=\frac{z-z_1}{p}$ 和直线外一点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 。
      - 先求出过 $M_0$ 且与 $\ell$ 垂直的平面 $\pi$ ，再求出 $\ell$ 与 $\pi$ 的交点。
      - 该交点与 $M_0$ 的距离就是 $M_0$ 到 $\ell$ 距离。
    - 方法二
      - 设 $\ell$ 方向向量为 $\boldsymbol s=(m,n,p)$ ， $M$ 为 $\ell$ 上任意一点。
      - 设 $d$ 为 $M_0$ 到 $\ell$ 距离，则 $d=\frac{|\overrightarrow{M_0M}\times\boldsymbol s|}{|\boldsymbol s|}$
    - 方法三
      - 根据 $\ell$ 的参数方程，已知 $\ell$ 上任意一点 $M$ 可以表示为 $M(x_1+mt,y_1+nt,z_1+pt)$ 。
      - 设 $f(t)=|\overrightarrow{M_0M}|^2$ ，则 $d=\min f(t),t_0=\operatorname{arg}\min\limits_t f(t)$ 。
  - 两直线共面的判定
    - 已知两条直线 $\ell_1:\frac{x-x_1}{m_1}=\frac{y-y_1}{n_1}=\frac{z-z_1}{p_1},\ell_2:\frac{x-x_2}{m_2}=\frac{y-y_2}{n_2}=\frac{z-z_2}{p_2}$ 。
    - 设 $M_1$ 在 $\ell_1$ 上， $M_2$ 在 $\ell_2$ 上，两条直线的方向向量为 $\boldsymbol s_1=(m_1,n_1,p_1),\boldsymbol s_2=(m_2,n_2,p_2)$ 。
    - 当 $(\boldsymbol s_1, \boldsymbol s_2, \overrightarrow{M_1M_2})=0$ 时， $\ell_1,\ell_2$ 共面。
曲面
- 方程
  - 一般方程
    - 设 $(x,y,z)$ 是曲面上的点，则曲面可以用一个三元方程表示： $F(x,y,z)=0$
    - 所有名字以上方程的点在曲面上，否则不在曲面上。
  - 参数方程
    - 参数方程表示为 $\left\{\begin{matrix} x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v)\\ \end{matrix}\right.$
- 常见曲面
  - 柱面
    - 一直线 $\ell$ 沿给定的曲线 $C$ 平行移动形成的曲面是柱面， $\ell$ 是柱面的母线， $C$ 是柱面的准线。
    - 这里的柱面都是以平行坐标轴的直线为准线，以坐标面上的曲线为准线。
    - 若 $C:F(x,y)=0,z=0$ ，则 $\ell\parallel z$ ，柱面方程为 $F(x,y)=0$ 。
    - $C$ 中的 $F(*,*)=0$ 可以直接作为柱面的方程，缺失的变量对应 $S$ 平行的轴。
  - 旋转曲面
    - 由一条平面曲线 $S$ 绕给定的直线 $\ell$ 旋转一周形成的曲面是旋转曲面， $\ell$ 是轴， $C$ 是锥线。
    - 这里的旋转曲面以坐标轴为轴，以坐标面上的曲线为锥线。
    - 若 $C:F(x,y)=0,z=0$ $C : F (x, y) = 0, z = 0$ ，根据轴的不同，得到的方程不同：
      - 若轴为 $x$ 轴，则方程为 $F(x,\pm\sqrt{y^2+z^2})=0$ 。
      - 若轴为 $y$ 轴，则方程为 $F(\pm\sqrt{x^2+z^2},y)=0$ 。
    - $C$ 中的 $F(*,*)=0$ 两个 $*$ 都是可能的轴，作为轴的对应的变量不变，另外一个变量和缺失的变量做平方和再开方（有正负两种），即点到轴的距离。
- 相关问题
  - 切平面与法线
    - 曲面 $F(x,y,z)=0$ 在 $P(x_0,y_0,z_0)$ 的法向量为 $\boldsymbol n=\left(\left.\frac{\partial F}{\partial x}\right|_P,\left.\frac{\partial F}{\partial y}\right|_P,\left.\frac{\partial F}{\partial z}\right|_P\right)=\left.\nabla F\right|_P$
    - 由此易得切平面与法线。
    - 几何意义上，可以把这个曲面看着 $F(x,y,z)$ 的一个等值面，则其梯度垂直等值面。
曲线
- 方程
  - 一般方程
    - 空间中的曲线可以表示为两个曲面的交线： $\left\{\begin{matrix} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{matrix}\right.$
  - 参数方程
    - 可以把 $x,y,z$ 表示为二元函数： $\left\{\begin{matrix} x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v) \end{matrix}\right.$
- 曲线在坐标面的投影
  - 设曲线的方程 $C$ 为 $\left\{\begin{matrix} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{matrix}\right.$
  - 若求 $C$ 在 $xOy$ 上的投影，则消去 $z$ 得到 $\phi(x,y)=0$ ，这是一个柱面。
  - 投影 $C_{xy}$ 为 $\left\{\begin{matrix} \phi(x,y)=0\\ z=0 \end{matrix}\right.$
  - 若 $F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0$ 中有一个已经没有含 $z$ ，则该方程可以直接作为投影柱面方程。
- 相关问题
  - 切线与法平面
    - 假设要求曲线在 $P(x_0,y_0,z_0)$ 处的切向量。
    - 参数方程表示的曲线： $\boldsymbol s=\left(\left.\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right|_{x_0},\left.\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\right|_{y_0},\left.\frac{\mathrm dz}{\mathrm dt}\right|_{z_0}\right)$
    - $x$ 为自变量， $y,z$ 为因变量表示的曲线： $\boldsymbol s=\left(1,\left.\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right|_{x_0},\left.\frac{\mathrm dz}{\mathrm dx}\right|_{x_0}\right)$
    - 一般方程表示的曲线（隐函数求导）： $\boldsymbol s=\left(1,\left.-\frac{\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,z)}}{\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}}\right|_P,\left.-\frac{\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,x)}}{\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}}\right|_P\right)$ 或 $\boldsymbol s=\left(\left.\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}\right|_P,-\left.\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,z)}\right|_P,\left.-\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,x)}\right|_P\right)$
    - 一般方程表示的曲线（ $F=0,G=0$ 两平面在 $P$ 处法向量叉乘）： $\boldsymbol s=\boldsymbol n_{F,P}\times\boldsymbol n_{G,P}$
    - 接下来易得切线与法平面。
二次曲面
- 定义
  - 由最多三个变量组成，且最高次数为二次的方程对应的曲面称为二次曲面。
- 分类
  - 椭圆柱面： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
  - 双曲柱面： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
  - 抛物柱面： $y^2=2px$
  - 椭球面： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
  - 单叶双曲面： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} - \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1$
    - 带负号的项对应的轴是曲面的轴线。
    - 用 $z=t$ 截取出的曲线为椭圆。
    - 用 $x=t$ 或 $y=t$ 截取出的曲线为双曲线。
  - 双叶双曲面： $-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ $- \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} + \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1$
    - 带正号的项对应的轴是曲面的轴线。
    - 用 $z=t\ (|t|>c)$ 截取出的曲线为双曲线。
    - 用 $x=t$ 或 $y=t$ 截取出的曲线为椭圆。
  - 椭圆锥面： $z^2=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$ $z^{2} = \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}}$
    - 单独的一项对应的轴是曲面的轴线。
    - 用 $z=t$ 截取出的曲线为椭圆。
    - 用 $x=t$ 或 $y=t$ 截取出的曲线为双曲线。
  - 椭圆抛物面： $z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$ $z = \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}}$
    - 单独的一项对应的轴是曲面的轴线。
    - 用 $z=t$ 截取出的曲线为椭圆。
    - 用 $x=t$ 或 $y=t$ 截取出的曲线为抛物线。
  - 双曲抛物面 / 马鞍面： $z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$ $z = \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}}$
    - 用 $z=t$ 截取出的曲线为双曲线。
    - 用 $x=t$ 或 $y=t$ 截取出的曲线为抛物线， $x=t$ 的开口向下， $y=t$ 的开口向上。

一阶微分方程多元函数