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偏导数

偏导数

  • 偏导数
    • 定义
      • 设多元函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 的某邻域内有定义。
      • 将 yy 固定为 y0y_0，而 xx 在 x0x_0 处取得增量 Δx\Delta x 时，函数 f(x,y)f(x,y) 所产生相应的增量定义为偏增量： Δxz=f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0) \Delta_x z=f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)
      • 如果以下极限存在： lim⁡Δx→0ΔxzΔx=lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δx \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta_x z}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} 则称该极限为 f(x,y)f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 对 xx 的偏导数，记作 ∂z∂x∣x=x0,∂f∂x∣x=x0,fx′(x0,y0),f1′(x0,y0) \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{x=x_0},\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{x=x_0},f_x'(x_0,y_0),f_1'(x_0,y_0)
      • 同样可以定义 f(x,y)f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 对 yy 的偏导数，记作 ∂z∂y∣x=x0,∂f∂y∣x=x0,fy′(x0,y0),f2′(x0,y0) \left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{x=x_0},\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{x=x_0},f_y'(x_0,y_0),f_2'(x_0,y_0)
      • 如果 f(x,y)f(x,y) 在区域 DD 内任意一点都有 fx′(x,y),fy′(x,y)f_x'(x,y),f_y'(x,y)，则将它们称为偏导函数。
      • 对于其他多元函数也有类似的定义。
    • 几何意义
      • 对于二元函数 z=f(x,y)z=f(x,y)，其在空间直角坐标系中表示为一曲面。
      • fx(x0,y0)f_x(x_0,y_0) 表示曲线 {z=f(x,y)y=y0\left\{\begin{matrix}z=f(x,y) \\y=y_0\end{matrix}\right. 在 (x0,y0,f(x0,y0))\left(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\right) 处的切线与 xx 轴正方向夹角的正切值。
      • fy(x0,y0)f_y(x_0,y_0) 表示曲线 {z=f(x,y)x=x0\left\{\begin{matrix}z=f(x,y) \\x=x_0\end{matrix}\right. 在 (x0,y0,f(x0,y0))\left(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\right) 处的切线与 yy 轴正方向夹角的正切值。
    • 注意事项
      • ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x} 是一个整体，不可以拆开成 ∂z\partial z 除以 ∂x\partial x，因此对于多个偏导数相乘，不可以对其约分。
      • fx′(x,y)f_x'(x,y) 和 f1′(x,y)f_1'(x,y) 对于复合函数，意义不同。对于 f(x2,y)f(x^2,y)：
        • fx′(x2,y)f_x'(x^2,y)：令 g(x,y)=f(x2,y)g(x,y)=f(x^2,y)，则 fx′(x2,y)=gx′(x,y)f_x'(x^2,y)=g_x'(x,y)，即真正对 xx 这个变量求导。
        • f1′(x2,y)f_1'(x^2,y)：令 u=x2u=x^2，则 f1′(x2,y)=fu′(u,y)∣u=x2f_1'(x^2,y)=\left.f_u'(u,y)\right|_{u=x^2}，即对第一个位置求导，再用 x2x^2 替换。
      • 偏导数都存在不能说明多元函数连续，只有单独关于某个变量连续。
  • 高阶偏导数
    • 定义
      • 设函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 在区域 DD 内有偏导数 ∂z∂x=fx′(x,y),∂z∂y=fy′(x,y)\frac{\partial z}{\partial x}=f_x'(x,y),\frac{\partial z}{\partial y}=f_y'(x,y)，则定义它们的偏导数为 z=f(x,y)z=f(x,y) 的二阶偏导数： ∂2z∂x2=∂∂x(∂z∂x)=fxx′′(x,y)=f11′′(x,y) \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=f_{xx}''(x,y)=f_{11}''(x,y) ∂2z∂x∂y=∂∂y(∂z∂x)=fxy′′(x,y)=f12′′(x,y) \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=f_{xy}''(x,y)=f_{12}''(x,y) ∂2z∂y∂x=∂∂x(∂z∂y)=fyx′′(x,y)=f21′′(x,y) \frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=f_{yx}''(x,y)=f_{21}''(x,y) ∂2z∂y2=∂∂y(∂z∂y)=fyy′′(x,y)=f22′′(x,y) \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=f_{yy}''(x,y)=f_{22}''(x,y)
      • 同样可以定义三阶及以上的偏导数，二阶及以上偏导数统称高阶偏导数。
      • 对同一个变量求得的偏导数称为纯偏导数，对不同变量求得的偏导数称为混合偏导数。
    • 定理
      • 如果 z=f(x,y)z=f(x,y) 的混合偏导数 ∂2z∂x∂y,∂2z∂y∂x\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y},\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x} 在区域 DD 连续，则在 DD 中 ∂2z∂x∂y=∂2z∂y∂x \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}
      • 混合偏导数在连续的情况下可以任意交换求导顺序。
  • 复合函数的偏导数
    • 计算
      • 多元复合函数的求导按照以下方法：
        • 把各个变量看作结点，根据函数关系在结点之间连边，形成计算图。
        • 因变量对某个自变量求导，则找出两个变量之间的所有路径，每个路径按照链式法则计算，再相加。
      • 如 z=f(u,v),u=g(x,y),v=h(x,y)z=f(u,v),u=g(x,y),v=h(x,y)，则 zz 到 xx 的路径有 z→u→x,z→v→xz\to u\to x,z\to v\to x，zz 到 yy 的路径有 z→u→y,z→v→yz\to u\to y,z\to v\to y，则 ∂z∂x=∂z∂u∂u∂x+∂z∂v∂v∂x \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} ∂z∂y=∂z∂u∂u∂y+∂z∂v∂v∂y \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}
      • 又如 w=f(x2,xy,y2−z2)w=f(x^2,xy,y^2-z^2)，计算图中的各路径与偏导数为
        • ww 对 xx：路径为 w→x2→x,w→xy→xw\to x^2\to x,w\to xy\to x，偏导数为 ∂w∂x=f1′⋅2x+f2′⋅y \frac{\partial w}{\partial x}=f_1'\cdot 2x+f_2'\cdot y
        • ww 对 yy：路径为 w→xy→y,w→y2−z2→yw\to xy\to y,w\to y^2-z^2\to y，偏导数为 ∂w∂y=f2′⋅x+f3′⋅2y \frac{\partial w}{\partial y}=f_2'\cdot x+f_3'\cdot 2y
        • ww 对 zz：路径为 w→y2−z2→zw\to y^2-z^2\to z，偏导数为 ∂w∂z=f3′⋅(−2z) \frac{\partial w}{\partial z}=f_3'\cdot (-2z)
    • 全微分形式的不变性
      • 设 z=f(u,v)z=f(u,v)，不论 u,vu,v 是自变量还是中间变量，全微分都可以写成 dz=∂z∂udu+∂z∂vdv \mathrm dz=\frac{\partial z}{\partial u}\mathrm du+\frac{\partial z}{\partial v}\mathrm dv
      • 参考微分形式的不变性。
  • 隐函数的偏导数
    • 定理
      • 如果 F(x,y)F(x,y) 在 (x0,y0)(x_0,y_0) 的某个邻域内各偏导数连续，且在 (x0,y0)(x_0,y_0) 处 F=0,Fy′≠0F=0,F_y'\ne 0，则该邻域内 F(x,y)=0F(x,y)=0 确定唯一一个函数 y=y(x)y=y(x)，且 dydx=−Fx′Fy′ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-\frac{F_x'}{F_y'}
      • 如果 F(x,y,z)F(x,y,z) 在 (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) 的某个邻域内各偏导数连续，且在 (x0,y0)(x_0,y_0) 处 F=0,Fz′≠0F=0,F_z'\ne 0，则该邻域内 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 确定唯一一个函数 z=z(x,y)z=z(x,y)，且 ∂z∂x=−Fx′Fz′,∂z∂y=−Fy′Fz′ \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x'}{F_z'},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y'}{F_z'}
      • 如果 F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)F(x,y,u,v),G(x,y,u,v) 在 (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) 的某个邻域内各偏导数连续，且在 (x0,y0)(x_0,y_0) 处 F=0,G=0F=0,G=0，以及 J=∂(F,G)∂(u,v)=∣Fu′Fv′Gu′Gv′∣≠0 J=\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix} F_u' & F_v' \\ G_u' & G_v'\end{vmatrix}\ne 0 则 F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0 确定唯一一组函数 u=u(x,y),v=v(x,y)u=u(x,y),v=v(x,y)，且 ∂u∂x=−∂(F,G)∂(x,v)∂(F,G)∂(u,v),∂u∂y=−∂(F,G)∂(y,v)∂(F,G)∂(u,v) \frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,v)}}{\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,v)}}{\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}} ∂v∂x=−∂(F,G)∂(u,x)∂(F,G)∂(u,v),∂v∂y=−∂(F,G)∂(u,y)∂(F,G)∂(u,v) \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,x)}}{\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}}, \frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,y)}}{\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}}
    • 计算
      • 计算可以直接对自变量求导，然后解方程或方程组。
      • 使用公式法，条件为构造的新函数的偏导数连续，然后一般利用雅可比行列式和克拉默法则求解。
  • 方向导数
    • 定义
      • 设 z=f(x,y)z=f(x,y) 在点 P(x0,y0)P(x_0,y_0) 的某邻域内有定义。
      • 从 PP 引一条方向向量为 e=(cos⁡α,cos⁡β)\boldsymbol e=(\cos\alpha,\cos\beta) 的射线。在射线上取 P′(x+Δx,y+Δy)P'(x+\Delta x,y+\Delta y)，定义方向导数为 ∂z∂e=lim⁡ρ→0Δez=lim⁡ρ→0f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)ρ (ρ=∣PP′∣=Δx2+Δy2) \frac{\partial z}{\partial\boldsymbol e}=\lim_{\rho\to 0}\frac{\Delta_{\boldsymbol e} z}=\lim_{\rho\to 0}\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\rho}\ (\rho=|PP'|=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2})
      • 方向导数与对 x,yx,y 的偏导数关系： ∂z∂i=∂z∂x,∂z∂j=∂z∂y \frac{\partial z}{\partial\boldsymbol i}=\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial\boldsymbol j}=\frac{\partial z}{\partial y}
    • 计算
      • 计算方向导数的基础方法是利用定义计算。
      • 如果 z=f(x,y)z=f(x,y) 在 P(x,y)P(x,y) 可微，则在 P(x,y)P(x,y) 的任意方向导数都存在，当方向向量为 e=(cos⁡α,cos⁡β)\boldsymbol e=(\cos\alpha,\cos\beta) 时，方向导数为 ∂z∂e=∂z∂xcos⁡α+∂z∂ycos⁡β \frac{\partial z}{\partial\boldsymbol e}=\frac{\partial z}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial z}{\partial y}\cos\beta
  • 梯度
    • 定义
      • 对于函数 u=f(x,y,z)u=f(x,y,z)，uu 的梯度定义为 grad⁡u=(∂u∂x,∂u∂y,∂u∂z) \operatorname{\bold{grad}}u=\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}\right)
      • 梯度一般也可使用 ∇\nabla 算子表示，即 grad⁡u=∇u \operatorname{\bold{grad}}u=\nabla u
    • 性质
      • 方向导数沿梯度方向最大，即 max⁡e∂u∂e=∣∇u∣=(∂u∂x)2+(∂u∂y)2+(∂u∂z)2 \max_{\boldsymbol e}\frac{\partial u}{\partial\boldsymbol e}=|\nabla u|=\sqrt{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial z}\right)^2}
      • 沿梯度方向函数值增加最快，沿负梯度方向函数值减小最快，垂直梯度方向方向导数为零。
      • 某一点的梯度与过该点的等值线 / 等值面的切线 / 切平面垂直。
多元函数的极值全微分