多元函数的极值

• 无条件极值
  • 必要条件
    • 若 $y=f(\boldsymbol x)$ 在 $\boldsymbol x_0$ 处有极值，如果 $\nabla y$ 存在，则 $\left.\nabla y\right|_{\boldsymbol x_0}=\boldsymbol 0$。
    • 此时 $\boldsymbol x_0$ 是驻点。
  • 充分条件
    • 设 $y=f(\boldsymbol x)$ 在 $\boldsymbol x_0$ 的某邻域内连续，且有一阶和二阶连续偏导数，则根据以下分类确定 $\boldsymbol x_0$ 处是否有极值：
      • $\left.\nabla y\right|_{\boldsymbol x_0}\ne \boldsymbol 0$：不是极值
      • $\left.\nabla y\right|_{\boldsymbol x_0}\ne \boldsymbol 0$
        • $\left.\nabla^2 y\right|_{\boldsymbol x_0}$ 正定：是极小值
        • $\left.\nabla^2 y\right|_{\boldsymbol x_0}$ 负定：是极大值
        • $\left.\nabla^2 y\right|_{\boldsymbol x_0}$ 不定：不是极值
        • 其他情况：无法确定
• 最值
  • 假设
    • 函数在有界闭区域 $D$ 上连续。
    • 函数在 $D$ 内部可微。
    • 函数在 $D$ 内部只有有限个驻点。
  • 方法
    • 求出函数的所有驻点，求出驻点中的最值。
    • 求出 $D$ 的边界上的最值。
    • 两者取最值，就是最终的最值。
• 拉格朗日乘数法
  • 设函数 $f(\boldsymbol x)$ 在满足 $n$ 个等式约束 $g_i(\boldsymbol x)=0$。
  • 定义拉格朗日函数 $\mathcal L(\boldsymbol x,\boldsymbol \lambda)=f(\boldsymbol x)+\sum_{i=1}^n \lambda_i g_i(\boldsymbol x)$
  • $f(x)$ 满足等式约束的可能极值点 $\boldsymbol x_0$ 满足以下条件： $\left.\nabla_{\boldsymbol x} \mathcal L\right|_{\boldsymbol x_0}=\boldsymbol 0$ $g_i(\boldsymbol x_0)=0\ (i\in [1, n], i\in \mathrm N^*)$