文档
数学
微积分
重积分

重积分

  • 二重积分
    • 定义
      • 设多元函数 f(x,y)f(x,y) 在平面有界区域 DD 上有定义，将 DD 划分为 Δσi\Delta \sigma_i，设 λ\lambda 为 Δσi\Delta\sigma_i 的直径的最大值，任取 (ξi,ηi)∈Δσi(\xi_i,\eta_i)\in \Delta\sigma_i。
      • 如果无论 DD 如何划分，以及 (ξi,ηi)(\xi_i,\eta_i) 如何选取，以下极限均存在，则 f(x,y)f(x,y) 在 DD 上可积。 lim⁡λ→0∑Δσi∈Df(ξi,ηi)Δσi \lim_{\lambda\to 0} \sum_{\Delta\sigma_i\in D} f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i
      • 此时把以上极限记作 f(x,y)f(x,y) 在 DD 上的二重积分，即 ∬Df(x,y)dσ \iint_D f(x,y)\mathrm d\sigma
    • 存在性
      • 如果 f(x,y)f(x,y) 在平面有界区域 DD 上连续，则 f(x,y)f(x,y) 在 DD 上可积。
      • 如果 f(x,y)f(x,y) 在平面有界区域 DD 上的有限个分片内分别连续，则 f(x,y)f(x,y) 在 DD 上可积。
    • 几何意义
      • f(x,y)f(x,y) 在 DD 上的重积分等于 DD 为底，z=f(x,y)z=f(x,y) 为顶的曲顶柱体的体积。如果曲面在 DD 下，则记负数。
    • 性质
      • 线性性质： ∬D(C1f1(x,y)+C2f2(x,y))dσ=C1∬Df1(x,y)dσ+C2∬Df2(x,y)dσ \iint_D \left(C_1f_1(x,y)+C_2f_2(x,y)\right)\mathrm d\sigma=C_1\iint_D f_1(x,y)\mathrm d\sigma+C_2\iint_D f_2(x,y)\mathrm d\sigma
      • 积分区域可加： ∬D1∪D2f(x,y)dσ=∬D1f(x,y)dσ+∬D2f(x,y)dσ (D1∩D2=∅) \iint_{D_1\cup D_2}f(x,y)\mathrm d\sigma=\iint_{D_1}f(x,y)\mathrm d\sigma+\iint_{D_2}f(x,y)\mathrm d\sigma\ (D_1\cap D_2=\varnothing)
      • 比较性质： ∬Df(x,y)dσ≥∬Dg(x,y)dσ (f(x,y)≥g(x,y)) \iint_D f(x,y)\mathrm d\sigma\ge \iint_D g(x,y)\mathrm d\sigma\ (f(x,y)\ge g(x,y))
      • 绝对值性质： ∣∬Df(x,y)dσ∣≤∬D∣f(x,y)∣dσ \left|\iint_D f(x,y)\mathrm d\sigma\right| \le \iint_D \left|f(x,y)\right|\mathrm d\sigma
      • 估值定理： ∬Df(x,y)dσ∈[Amin⁡D{f(x,y)},Amax⁡D{f(x,y)}] \iint_D f(x,y)\mathrm d\sigma\in\left[A\min_D\{f(x,y)\},A\max_D\{f(x,y)\}\right]
      • 中值定理： ∬Df(x,y)dσ=f(ξ,η)A ((ξ,η)∈D) \iint_D f(x,y)\mathrm d\sigma=f(\xi,\eta)A\ ((\xi,\eta)\in D)
      • 对称性质：区域对称时，如果关于某自变量为奇函数，则重积分为 00，如果为偶函数，则重积分为一半区域的两倍重积分。
  • 计算
    • X 型
      • 已知 D:a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)D: a\le x\le b,\varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)，则
      • ∬Df(x,y)dσ=∫abdx∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy \iint_D f(x,y)\mathrm d\sigma=\int_a^b\mathrm dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\mathrm dy
    • Y 型
      • 已知 D:a≤y≤b,φ1(y)≤x≤φ2(y)D: a\le y\le b,\varphi_1(y)\le x\le\varphi_2(y)，则
      • ∬Df(x,y)dσ=∫abdy∫φ1(y)φ2(y)f(x,y)dx \iint_D f(x,y)\mathrm d\sigma=\int_a^b\mathrm dy\int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)} f(x,y)\mathrm dx
    • 极坐标系
      • 已知 D:a≤θ≤b,φ1(θ)≤ρ≤φ2(θ)D: a\le\theta\le b,\varphi_1(\theta)\le\rho\le\varphi_2(\theta)，则有以下对应关系： x=ρcos⁡θ,y=ρsin⁡θ,dxdy=ρdρdθ x=\rho\cos\theta,y=\rho\sin\theta,\mathrm dx\mathrm dy=\rho\mathrm d\rho\mathrm d\theta
      • ∬Df(x,y)dσ=∫abdθ∫φ1(θ)φ2(θ)f(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ)ρdρ \iint_D f(x,y)\mathrm d\sigma=\int_a^b\mathrm d\theta\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)} f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho\mathrm d\rho
  • 三重积分
    • 定义
      • 设多元函数 f(x,y,z)f(x,y,z) 在空间有界区域 Ω\Omega 上有定义，将 Ω\Omega 划分为 Δvi\Delta v_i，设 λ\lambda 为 Δvi\Delta v_i 的直径的最大值，任取 (ξi,ηi)∈Δvi(\xi_i,\eta_i)\in \Delta v_i。
      • 如果无论 Ω\Omega 如何划分，以及 (ξi,ηi,ζi)(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) 如何选取，以下极限均存在，则 f(x,y)f(x,y) 在 Ω\Omega 上可积。 lim⁡λ→0∑Δvi∈Ωf(ξi,ηi,ζi)Δvi \lim_{\lambda\to 0} \sum_{\Delta v_i\in \Omega} f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta v_i
      • 此时把以上极限记作 f(x,y,z)f(x,y,z) 在 Ω\Omega 上的三重积分，即 ∭Ωf(x,y,z)dv \iiint_\Omega f(x,y,z)\mathrm dv
    • 意义
      • f(x,y,z)f(x,y,z) 在 Ω\Omega 上的重积分等于空间立体 Ω\Omega 以 f(x,y,z)f(x,y,z) 为密度函数的质量。
      • ∭Ωdv\iiint_\Omega\mathrm dv 表示 Ω\Omega 的体积。
    • 计算
      • 投影法
        • 下边界曲面为 S1:z=z1(x,y)S_1:z=z_1(x,y)，上边界曲面为 S2:z=z2(x,y)S_2:z=z_2(x,y)，将 Ω\Omega 投影到 xOyxOy 平面上的闭区域 DD。
        • ∭Ωf(x,y,z)dv=∬Ddσ∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz \iiint_\Omega f(x,y,z)\mathrm dv=\iint_D \mathrm d\sigma\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)\mathrm dz
      • 平行截面法
        • 设 Ω\Omega 中 z∈[a,b]z\in [a,b]，DzD_z 为 Ω\Omega 在 zz 处的截平面。
        • ∭Ωf(x,y,z)dv=∫abdz∫Dzf(x,y,z)dσ \iiint_\Omega f(x,y,z)\mathrm dv=\int_a^b \mathrm dz\int_{D_z} f(x,y,z)\mathrm d\sigma
      • 柱坐标系
        • 令 x=ρcos⁡θ,y=ρsin⁡θ (θ∈[0,2π])x=\rho\cos\theta,y=\rho\sin\theta\ (\theta\in[0,2\pi])，则 ∭Ωf(x,y,z)dv=∫αβdθ∫ρ1(θ)ρ2(θ)ρdρ∫z1(ρ,θ)z2(ρ,θ)f(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ,z)dz \iiint_\Omega f(x,y,z)\mathrm dv=\int_\alpha^\beta\mathrm d\theta\int_{\rho_1(\theta)}^{\rho_2(\theta)}\rho\mathrm d\rho\int_{z_1(\rho,\theta)}^{z_2(\rho,\theta)}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,z)\mathrm dz
        • 其中体积元素 dv=ρdρdθdz\mathrm dv=\rho\mathrm d\rho\mathrm d\theta\mathrm dz。
      • 球坐标系
        • 令 x=rsin⁡φcos⁡θ,y=rsin⁡φsin⁡θ,z=rcos⁡φ (φ∈[0,π],φ∈[0,2π])x=r\sin\varphi\cos\theta,y=r\sin\varphi\sin\theta,z=r\cos\varphi\ (\varphi\in[0,\pi],\varphi\in[0,2\pi])，则 ∭Ωf(x,y,z)dv=∫αβdθ∫φ1(θ)φ2(θ)sin⁡φdφ∫r1(θ,φ)r2(θ,φ)f(rsin⁡φcos⁡θ,rsin⁡φsin⁡θ,rcos⁡φ)r2dr \iiint_\Omega f(x,y,z)\mathrm dv=\int_\alpha^\beta\mathrm d\theta\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}\sin\varphi\mathrm d\varphi\int_{r_1(\theta,\varphi)}^{r_2(\theta,\varphi)}f(r\sin\varphi\cos\theta,r\sin\varphi\sin\theta,r\cos\varphi)r^2\mathrm dr
        • 其中体积元素 dv=r2sin⁡φdrdφdθ\mathrm dv=r^2\sin\varphi\mathrm dr\mathrm d\varphi\mathrm d\theta。
        • 对于类似椭球面 x2a2+y2b2+z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 围成的区域，可以利用广义球坐标系： {x=arsin⁡φcos⁡θy=brsin⁡φsin⁡θz=crcos⁡φ  ⟹  dv=abcr2sin⁡φdrdφdθ \left\{\begin{matrix} x= ar\sin\varphi\cos\theta\\ y= br\sin\varphi\sin\theta\\ z= cr\cos\varphi\\\end{matrix}\right. \implies \mathrm dv=abcr^2\sin\varphi\mathrm dr\mathrm d\varphi\mathrm d\theta
    • 应用
      • 空间曲面的面积
        • 设曲面 SS 的方程为 z=f(x,y)z=f(x,y)，在 xOyxOy 平面上的投影为 DxyD_{xy}。
        • 设 dS\mathrm dS 是 SS 上的面积微元，dσ\mathrm d\sigma 是 dS\mathrm dS 在 xOyxOy 平面上的投影，γ\gamma 为两者夹角，则 dS=dσcos⁡γ=1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2dσ \mathrm dS=\frac{\mathrm d\sigma}{\cos\gamma}=\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\mathrm d\sigma
        • SS 的面积为 S=∬Dxy1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2dxdy S=\iint_{D_{xy}} \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\mathrm dx\mathrm dy
        • 同理可以对其他平面投影计算，结果不变。
      • 质心
      • 转动惯量
      • 引力
        • 设空间立体 VV 和 VV 外的一个在 (a,b,c)(a,b,c) 的质点 mm，VV 的密度为 ρ(x,y,z)\rho(x,y,z)。
        • 设 r(x,y,z)=(x−a,y−b,z−c) \boldsymbol r(x,y,z)=(x-a,y-b,z-c)
        • 则 VV 和 mm 之间的引力为 F=Gm∭Vr(x,y,z)ρ(x,y,z)∥r(x,y,z)∥3dv \boldsymbol F=Gm\iiint_V \frac{\boldsymbol r(x,y,z)\rho(x,y,z)}{\|\boldsymbol r(x,y,z)\|^3}\mathrm dv
  • 换元法
    • 设 f(x,y)f(x,y) 在 xOyxOy 上的闭区域 DD 连续，x=x(u,v),y=y(u,v)x=x(u,v),y=y(u,v)，DD 对应 uOvuOv 上的闭区域 D′D'。
    • 若 x(u,v),y(u,v)x(u,v),y(u,v) 在 D′D' 上有一阶连续偏导数，在 D′D' 上雅可比行列式 ∂(x,y)∂(u,v)≠0\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\ne 0，DD 与 D′D'上的点一一对应，则 ∬Df(x,y)dxdy=∬D′f(x(u,v),y(u,v))∣∂(x,y)∂(u,v)∣dudv \iint_D f(x,y)\mathrm dx\mathrm dy=\iint_{D'} f(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\mathrm du\mathrm dv
  • 含参变量积分
    • 定义
    • 性质
      • 连续性：如果 f(x,y)f(x,y) 在 [a,b]×[c,d][a,b]\times[c,d] 上连续，则 F(y)=∫abf(x,y)dxF(y)=\int_a^b f(x,y)\mathrm dx 在 [c,d][c,d] 上连续。
      • 上下限含参的连续性：如果 f(x,y),fy′(x,y)f(x,y),f'_y(x,y) 在 [a,b]×[c,d][a,b]\times[c,d] 上连续，此区域内 φ1(y),φ2(y)∈[a,b]\varphi_1(y),\varphi_2(y)\in[a,b]，则 F(y)=∫φ1(y)φ2(y)f(x,y)dxF(y)=\int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)} f(x,y)\mathrm dx 在 [c,d][c,d] 上连续。
      • 积分次序交换性：如果 f(x,y)f(x,y) 在 [a,b]×[c,d][a,b]\times[c,d] 上连续，则 ∫abdx∫cdf(x,y)dy=∫cddy∫abf(x,y)dx \int_a^b\mathrm dx \int_c^d f(x,y)\mathrm dy=\int_c^d\mathrm dy \int_a^b f(x,y)\mathrm dx
      • 导数：如果 f(x,y),fy′(x,y)f(x,y),f_y'(x,y) 在 [a,b]×[c,d][a,b]\times[c,d] 上连续，则 F(y)F(y) 在 [c,d][c,d] 上有连续导数，且 F′(y)=ddy∫abf(x,y)dx=∫abfy′(x,y)dx F'(y)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dy}\int_a^b f(x,y)\mathrm dx=\int_a^b f'_y(x,y)\mathrm dx
      • 上下限含参的导数：如果 f(x,y),fy′(x,y)f(x,y),f'_y(x,y) 在 [a,b]×[c,d][a,b]\times[c,d] 上连续，此区域内 φ1(y),φ2(y)∈[a,b]\varphi_1(y),\varphi_2(y)\in[a,b]，则 F(y)F(y) 在 [c,d][c,d] 上有连续导数： F′(y)=ddy∫φ1(y)φ2(y)f(x,y)dx=∫φ1(y)φ2(y)fy′(x,y)dx+f(φ2(y),y)φ2′(y)−f(φ1(y),y)φ1′(y) F'(y)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dy}\int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)} f(x,y)\mathrm dx=\int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)} f'_y(x,y)\mathrm dx+f(\varphi_2(y),y)\varphi'_2(y)-f(\varphi_1(y),y)\varphi'_1(y)
全微分曲线积分