线性微分方程

• 解的结构
  • $n$ 阶线性齐次微分方程
    • 通解是 $n$ 个线性无关的特解的线性组合： $\bar y=C_1y_1+C_2y_2+\cdots+C_ny_n$。
  • $n$ 阶线性非齐次微分方程
    • 通解是一个特解加上对应齐次方程的通解：$y=y^*+\bar y$。
• 求解
  • 二阶线性微分方程
    • 齐次方程 $y''+p(x)y'+q(x)=0$
      • 刘维尔公式：已知一个二阶齐次线性微分方程的特解 $y_1$，则可以求出另外一个线性无关的特解 $y_2=y_1\int \frac{1}{y_1^2}e^{-\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx$。
    • 非齐次方程 $y''+p(x)y'+q(x)=f(x)$
      • 先求出对应齐次方程的通解 $\bar y = C_1y_1+C_2y_2$，再用常数变易法求原方程特解 $y^*=c_1(x)y_1+c_2(x)y_2$。
      • 令 $v(y_1,y_2)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2\\ y'_1 & y'_2\end{vmatrix}$，则 $c_1(x)=-\int\frac{y_2 f(x)}{v(y_1,y_2)}\mathrm dx$，$c_2(x)=\int\frac{y_1 f(x)}{v(y_1,y_2)}\mathrm dx$
      • 原方程通解为 $y=C_1y_1+C_2y_2-y_1\int\frac{y_2 f(x)}{v(y_1,y_2)}\mathrm dx+y_2\int\frac{y_1 f(x)}{v(y_1,y_2)}\mathrm dx$。
  • 常系数线性微分方程
    • 齐次方程 $y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}y'+a_ny=0$
      • 特解的形式应当为 $y=e^{rx}$。
      • 将 $y^{(n)}$ 换成 $r^n$，得到特征方程 $r^n+a_1r^{n-1}+\cdots+a_{n-1}r+a_n=0$，解出特征根。
      • 根据特征根对特解 $y_i$ 进行讨论：
        • 如果 $r$ 是一重实根，则 $r$ 为通解贡献一个线性无关特解 $e^{rx}$；
        • 如果 $r$ 是 $k$ 重实根，则 $r$ 为通解贡献 $k$ 个线性无关特解 $e^{rx},\dots,x^{k-1}e^{rx}$；
        • 如果 $r_{1,2}=\alpha\pm\beta i$ 是一对一重共轭复根，则 $r_1,r_2$ 为通解贡献一对线性无关特解 $e^{\alpha x}\cos\beta x,e^{\alpha x}\sin\beta x$；
        • 如果 $r_{1,2}=\alpha\pm\beta i$ 是一对 $k$ 重共轭复根，则 $r_1,r_2$ 为通解贡献 $k$ 对线性无关特解 $e^{\alpha x}\cos\beta x,e^{\alpha x}\sin\beta x,\dots,x^{k-1}e^{\alpha x}\cos\beta x,x^{k-1}e^{\alpha x}\sin\beta x$。
      • 通解为 $y=C_1y_1+C_2y_2+\cdots+C_ny_n$。
    • 非齐次方程 $y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}y'+a_ny=f(x)$
      • $f(x)=p_m(x)e^{\lambda x}$
        • $p_m(x)$ 为 $m$ 次多项式。
        • 先求出对应齐次方程的通解 $\bar y$，再求原方程特解。
        • 设特解的形式为 $y^*=q_{m+k}(x)e^{\lambda x}$，$q_{m+k}(x)$ 为待定 $m+k$ 次多项式，$k$ 为特征方程中 $\lambda$ 的重数（如果 $\lambda$ 不是根，则重数为 $0$）。
        • $q_{m+k}(x)$ 只要设出从最高次项开始的 $m$ 个系数。
        • 代入 $y^*$ 各阶导数到原方程，化简为只有多项式的方程，比较系数，解出 $q_{m+k}(x)$。
        • 如果是二阶微分方程，则代入结果是 $q_{m+k}''(x)+q_{m+k}'(x)(2\lambda+a_1)+q_{m+k}(x)(\lambda^2+a_1\lambda+a_2)=p_m(x)$。
        • 通解为 $y=\bar y+y^*$。
      • $f(x)=e^{\alpha x}(p_m(x)\cos\beta x+q_n(x)\sin\beta x)$
        • 先求出对应齐次方程的通解 $\bar y$，再求原方程特解。
        • 设特解的形式为 $y^*=e^{\alpha x}(u_{l+k}(x)\cos\beta x+v_{l+k}(x)\sin\beta x)$，$u_{l+k}(x),v_{l+k}(x)$ 为待定 $l+k$ 次多项式，$l=\max\{m,n\}$。
        • 其他与 $f(x)=p_m(x)e^{\lambda x}$ 的情况类似。
  • 欧拉方程
    • 欧拉方程是形式为 $x^ny^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}xy'+a_ny=f(x)$ 的微分方程。
    • 欧拉方程虽然不是常系数的，但可以通过 $x=e^{t}\ (x>0)$ 换元变为常系数。$x<0$ 时 $x=-e^{t}$，所以一般只要考虑一种情况。
    • 换元后各项表达式：
      • $f(x)=f(e^t)$
      • $x\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}$
      • $x^2\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}=\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dt^2}-\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}-1)y$
      • $x^3\frac{\mathrm d^3y}{\mathrm dx^2}=\frac{\mathrm d^3y}{\mathrm dt^3}-3\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dt^2}+2\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}-1)(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}-2)y$
      • $x^n\frac{\mathrm d^ny}{\mathrm dt^n}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}-1)\cdots(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}-n+1)y$