极限

• 数列的极限
  • 定义
    • 设数列 $\{a_n\}$，$A$ 是一常数，如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$，都存在正数 $N$，使得当 $n>N$ 时，恒有 $|a_n-A|<\varepsilon$ 成立，则称数列 $\{a_n\}$ 以 $A$ 为极限，或者称数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $A$，记作 $\lim\limits_{n\to \infty} a_n=A$ 或 $a_n\to A(n\to \infty)$。如果数列 $\{a_n\}$ 没有极限，则称数列 $\{a_n\}$ 是发散的。
    • $N$ 与一般给定的 $\varepsilon$ 有关。
    • $\varepsilon-N$ 语言：若 $\forall \varepsilon>0$，$\exists N>0$，当 $n>N$ 时，恒有 $|a_n-A|<A$，则 $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=A$。
  • 数列极限与子列极限的关系
    • 如果 $\lim\limits_{n\to \infty} a_n=A$，则对于任意 $\{a_n\}$ 的子列 $\{y_{n_k}\}$，$\lim\limits_{k\to \infty} y_{n_k}=A$。
    • 由逆否命题可知，如果某个数列的子列发散或两个子列收敛于不同的极限，则该数列发散。
• 函数的极限
  • 定义
    • （$x\to \infty$）设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,b]\cup [a,+\infty)$ 上有定义，$A$ 是一常数，如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$，都存在正数 $N$，使得当 $|x|>N$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 成立，则 $A$ 叫做函数 $f(x)$ 当 $x\to \infty$ 时的极限，记作 $\lim\limits_{x\to \infty} = A$，或 $f(x)\to A(x\to \infty)$。
    • 同理还有 $x\to +\infty$ 和 $x\to -\infty$ 时的情况，这三种情况都是 $x$ 趋于无穷大时的情况，不同之处仅在 $x$ 的趋势。
    • （$x\to x_0$）设函数 $f(x)$ 在某去心邻域上有定义，$A$ 是一常数，如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$，都存在正数 $\delta$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 成立，则 $A$ 叫做函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的极限，记作 $\lim\limits_{x\to x_0} = A$，或 $f(x)\to A(x\to x_0)$。
    • 同理还有 $x\to x_0^-$ 和 $x\to x_0^+$，分别表示从 $x_0$ 左边和右边趋近的情况。
  • 函数极限存在的条件
    • $\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=A$ 的充要条件是 $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=A$ 且 $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=A$。
      • 计算 $\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=A$ 要注意两个趋向下的极限是否相同。
    • $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$ 的充要条件是 $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=A$ 且 $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=A$。
• 性质
  • 唯一性
    • 如果极限存在，则极限唯一。
    • 函数的情况同理。
  • 有界性 / 局部有界性
    • 如果数列 $\{a_n\}$ 收敛，则 $\{a_n\}$ 一定有界，即 $\exists M>0$，使得 $\forall n$，都有 $|a_n|\le M$。
    • 有界是数列收敛的必要条件。
    • 函数的情况同理。
  • 保号性 / 局部保号性
    • 如果 $\lim\limits_{n\to \infty} a_n=A$ 且 $A>0$（或 $A<0$），则 $\exists N>0$，当 $n>N$ 时，都有 $a_n>0$（或 $a_n<0$）。
    • 推论：如果 $\lim\limits_{n\to \infty} a_n=A$ 且 $A\ne 0$，则 $\exists N>0$，当 $n>N$ 时，都有 $|a_n|>\frac{|A|}{2}$。
    • 函数的情况同理。
  • 保序性
    • 若 $\lim\limits_{n\to \infty} a_n=A$ 且当 $n>N$ 时，$a_n\ge 0$（或 $a_n\le 0$），则 $A\ge 0$（或 $A\le 0$）。
    • 推论：若 $\lim\limits_{n\to \infty} a_n=A,\lim\limits_{n\to \infty} b_n=B$ 且当 $n>N$ 时，$a_n\ge b_n$，则 $A\ge B$。
    • 注意 $a_n>b_n$ 也满足条件，但 $A>B$ 却不一定成立，后面的等号不能去掉。
    • 函数的情况同理。
  • 归并性
    • $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=A$（或 $\infty$）的充要条件是，对任意数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n\ne x_0$ 且 $a_n$ 在 $f(x)$ 的定义域内，只要 $\lim\limits_{n\to \infty} a_n=x_0$，则有$\lim\limits_{n\to \infty} f(a_n)=A$（或 $\infty$）。
    • $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)=A$（或 $\infty$）的充要条件是，对任意数列 $\{a_n\}$，只要 $\lim\limits_{n\to \infty} a_n=\infty$，则有$\lim\limits_{n\to \infty} f(a_n)=A$（或 $\infty$）。
    • 其他情况同理。
• 运算
  • 四则运算
    • 若 $\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$，则有：
      • $\lim [f(x)\pm g(x)]=A\pm B$
      • $\lim f(x)g(x)=AB$
      • $\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$，其中 $B\ne 0$
    • 运用以上规则时要注意极限存在，否则不可以使用。
    • 对于两个极限的加减，若其中一个有极限，另外一个没有极限，则结果没有极限。
    • 对于两个极限相乘，若其中一个极限不为 $0$，另外一个没有极限，则结果没有极限。
  • 初等函数
    • 若 $f(x)$ 是初等函数，且 $x_0$ 为定义域内的点，则 $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$。
  • 分式函数
    • $\lim\limits_{x\to \infty} \frac{a_0x^m+a_1x^{m-1}+\cdots +a_m}{b_0x^n+b_1x^{n-1}+\cdots+b_n}=\begin{cases}\frac{a_0}{b_0}, & m=n \\0, & m < n \\ \infty, & m >1 n \\ \end{cases}$
  • 复合函数
    • $\lim\limits_{u\to u_0} f(u)=A$（或 $\infty$），$\lim\limits_{x\to x_0} g(x)=u_0$，且在 $x_0$ 的某去心邻域内有 $g(x)\ne u_0$，则 $\lim\limits_{x\to x_0} (f \circ g)(x)=A$（或 $\infty$）。
• 定理
  • 夹逼定理
    • 如果在点 $x_0$ 的某个去心邻域内，有 $g(x)\le f(x)\le h(x)$，且 $\lim\limits_{x\to x_0} g(x)=\lim\limits_{x\to x_0} h(x)=A$，则 $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=A$。
    • 如果 $\exists N>0$，当 $|x|>N$ 时，有 $g(x)\le f(x)\le h(x)$，且 $\lim\limits_{x\to \infty} g(x)=\lim\limits_{x\to \infty} h(x)=A$，则 $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)=A$。
  • 单调有界定理
    • 如果数列 $\{a_n\}$ 单调递增且有上界，则 $\lim\limits_{x\to \infty} a_n$ 一定存在。如果数列 $\{a_n\}$ 单调递减且有下界，则 $\lim\limits_{x\to \infty} a_n$ 一定存在。
  • 绝对值性质
    • 若 $\lim\limits_{n\to \infty} a_n=A$，则 $\lim\limits_{n\to \infty} |a_n|=|A|$。
    • 若 $\lim\limits_{n\to \infty} |a_n|=0$，则 $\lim\limits_{n\to \infty} a_n=0$。
• 重要极限
  • $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
  • $\lim\limits_{x\to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = \lim\limits_{x\to 0} \left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=e$