洛必达法则

• 定理
  • 设 $f(x),g(x)$ 满足以下条件，则 $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$：
    • $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0$ 或 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=\infty$;
    • 在 $x_0$ 的某一个去心邻域内，$f(x),g(x)$ 均可导；
    • $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在或为 $\infty$。
  • 其中的 $x\to x_0$ 可以换为其他趋向。
• 应用
  • $\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}$ 型不定式
    • 若分式上下的函数满足条件，直接应用洛必达法则即可。
    • 若用过一次洛必达法则后仍为不定式，则可以继续使用洛必达法则。
  • $0\cdot\infty$ 型不定式
    • 设 $f(x),g(x)$ 满足 $\lim f(x)=0,\lim g(x)=\infty$，则 $\lim f(x)g(x)=\lim\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}=\lim\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}$。
  • $\infty-\infty$ 型不定式
    • 设 $f(x),g(x)$ 满足 $\lim f(x)=\infty,\lim g(x)=\infty$，则 $\lim(f(x)-g(x))=\frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)g(x)}}$。
    • 如果已经确定 $\lim f(x)=+\infty,\lim g(x)=-\infty$ 或 $\lim f(x)=-\infty,\lim g(x)=+\infty$，则可以直接写出答案，不必使用洛必达法则。
  • $1^{\infty},0^0,\infty^0$ 型不定式
    • 取自然对数转换为 $e$ 的指数，转化为 $0\cdot\infty$ 型不定式问题求解。
    • $\lim f(x)^{g(x)}=\lim\exp(g(x)\ln f(x))=\exp\lim(g(x)\ln f(x))$。
• 注意事项
  • 使用洛必达法则前先检查是否是不定式。
  • $\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$ 如果不存在且不是 $\infty$，并不一定说明 $\lim\frac{f(x)}{g(x)}$ 也是如此。
  • 先用等价无穷小替换可以简化计算。