无穷小和无穷大

• 无穷小
  • 定义
    • 若 $\lim\limits_{n\to \infty} a_n = 0$，则称数列 $\{a_n\}$ 为无穷小。
    • 若 $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=0$，则称 $f(x)$ 为 $x\to x_0$ 时的无穷小。
    • 其他情况类似。
  • 无穷小和函数极限的关系
    • $\lim f(x)=A \iff f(x)=A+\alpha(x)$，其中 $\lim \alpha(x)=0$。
  • 性质
    • 有限个无穷小的代数和是无穷小。
    • 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
    • 有限个无穷小的乘积是无穷小。
    • 需要注意：
      • 有限个无穷小都应该是同一趋向；
      • 无穷多个无穷小的和不一定是无穷小。
• 无穷大
  • 定义
    • 若对 $\forall M>0$，都 $\exists N$，当 $n>N$ 时，$|a_n|>M$，则称数列 $\{a_n\}$ 为无穷大，记作 $\lim\limits_{n\to \infty} a_n=\infty$。
    • 若对 $\forall M>0$，都 $\exists \delta>0$，当 $x\in \mathring U(x_0,\delta)$ 时，$|f(x)|>M$，则称函数 $f(x)$ 为 $x\to x_0$ 时的无穷大，记作 $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=\infty$。
    • 其他情况类似。
    • 无穷大的定义要求，对于 $\forall M>0$，邻域中的所有 $x$ 都应该满足不等式 $|f(x)|>M$，而不能只是邻域中一部分的 $x$ 满足。
  • 无穷大与无穷小的关系
    • $\lim f(x)=\infty \implies \lim \frac{1}{f(x)}=0$
    • $\lim f(x)=0,f(x)\ne 0 \implies \lim \frac{1}{f(x)}=\infty$
• 无穷小的的比较
  • 定义
    • 设 $\alpha,\beta$ 为在同一趋向下的无穷小：
      • 若 $\lim\frac{\alpha}{\beta}=0$，则称 $\alpha$ 是 $\beta$ 的高阶无穷小，记作 $\alpha=o(\beta)$；
      • 若 $\lim\frac{\alpha}{\beta}=C\ne 0$，则称 $\alpha$ 是 $\beta$ 的同阶无穷小，记作 $\alpha=O(\beta)$；
      • 若 $\lim\frac{\alpha}{\beta}=1$，则称 $\alpha$ 是 $\beta$ 的等价无穷小，记作 $\alpha\sim\beta$；
      • 若 $\lim\frac{\alpha}{\beta^k}=C\ne 0(k>0)$，则称 $\alpha$ 是 $\beta$ 的 $k$ 阶无穷小。
  • 性质
    • 设 $m>n>0$，当 $x\to x_0$ 时：
      • $o(x^m)=o(x^n)$
      • $o(x^m)\pm o(x^m)=o(x^m)$
      • $o(x^m)\pm o(x^n)=o(x^n)$
      • $o(x^m)o(x^n)=o(x^{m+n})$
  • 定理
    • $\alpha\sim\beta$ 的充要条件是 $\alpha-\beta=o(\beta)$，即 $\alpha=\beta+o(\beta)$。
      • 这个定理也说明两个等价无穷小相减会得到更高阶的无穷小。
    • 设在 $x$ 的同一趋向下，$\alpha,\alpha',\beta,\beta'$ 都是等价无穷小，$\alpha\sim\alpha'$，$\beta\sim\beta'$，则 $\lim\frac{\alpha}{\beta}f(x)=\lim\frac{\alpha'}{\beta'}f(x)$。
      • 求极限时乘除可以使用等价无穷小代换，不可用于加减。
      • 具体来说，被代换的部分不能是其中一个项，而应当是与整体相乘，比如 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}$ 就不可以代换 $\tan x$ 和 $\sin x$，$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x\sin x}{\tan^2 x}$ 就可以代换 $\sin x$。
      • 存在加减时用等价无穷小代换导致错误的本质是出现误差，以 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}$ 为例，若使用 $\tan x\sim x$ 和 $\sin x\sim x$ 代换，原式等于 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{(x+o(x))-(x+o(x))}{x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{o(x)}{x^3}$，在这里无法确定 $o(x)$ 相对于 $x^3$ 的阶数，出现误差。
• 常用等价无穷小
  • $x\sim\sin x\sim \tan x\sim\arcsin x\sim\arccos x$
  • $\cos x\sim1-\frac{1}{2}x^2$
  • $x\sim\ln(1+x)$
  • $e^x\sim x+1$
  • $a^x\sim x\ln a+1$
  • $(1+x)^\alpha\sim 1+\alpha x$