函数

• 定义
  • 设 $X,Y$ 是两个非空数集，如果对每个 $X$，按照某种确定的法则 $f$，有唯一的 $y \in Y$ 与之对应，则称 $f$ 是 $X$ 上的函数，或说 $y$ 是 $x$ 的函数，记作 $y=f(x)$。其中 $x$ 称为自变量，$y$ 称为因变量，数集 $X$ 称为函数 $f$ 的定义域。当 $x$ 取遍 $X$ 中的一切数时相应的函数值的集合称为 $f$ 的值域。
  • $y$ 是 $x$ 的函数也可记作 $y=y(x)$。当自变量 $x$ 的值取为 $x_0 \in X$ 时，函数 $y=f(x)$ 的对应值 $f(x_0)$ 称为函数值，$f(x_0)$ 也可以写成 $y|_{x=x_0}$ 或 $y|_{x_0}$。
  • 注意对于每一个 $x \in X$，$y \in Y$ 唯一，这样的函数被称为单值函数。一般情况下，我们讨论的都是单值函数。
• 性质
  • 有界性
    • 设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，如果 $\exists M>0$，使得对 $\forall x\in I$，都有 $|f(x)|\le M$，则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有界，如果这样的 $M$ 不存在，则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上无界。
    • 设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，如果 $\exists M_1$，使得对 $\forall x\in I$，都有 $f(x)\le M_1$，则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有上界。如果 $\exists M_2$，使得对 $\forall x\in I$，都有 $f(x)\ge M_2$，则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有下界。
  • 单调性
    • 设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，如果对 $\forall x_1,x_2 \in I$，$x_1< x_2$，都有 $f(x_1)<f(x_2)$，则称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是单调递增的。如果对 $\forall x_1,x_2 \in I$，$x_1< x_2$，都有 $f(x_1)>f(x_2)$，则称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是单调递减的。单调递增函数与单调递减函数统称单调函数。
    • 可以使用导数研究函数单调性。
  • 奇偶性
    • 设函数 $f(x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称，如果 $\forall x \in D$，都有 $f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$ 为偶函数。如果 $\forall x \in D$，都有 $f(-x)=-f(x)$，则称 $f(x)$ 为奇函数。
  • 周期性
    • 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，如果存在不为 $0$ 的数 $T$，使得对 $\forall x\in D$，都有 $x+T\in D$，且 $f(x+T)=f(x)$，则称 $f(x)$ 为周期函数，$T$ 称为 $f(x)$ 的周期，通常我们所说的周期为最小正周期。
    • 并非每个函数都有最小正周期，如常数函数。
  • 连续性
    • 函数在一点的连续性
      • 如果 $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。
      • 如果 $\lim\limits_{\Delta x\to 0} \Delta y=\lim\limits_{\Delta x\to 0}(f(x_0+\Delta x)-f(x_0))$，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。
      • 类似地，也可以定义左连续和右连续。
      • $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续的充要条件是 $f(x)$ 在 $x_0$ 左连续且右连续。
    • 函数在区间的连续性
      • 如果 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上的每一点都连续，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 连续。
      • 如果 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上的每一点都连续，在 $a$ 右连续，在 $b$ 左连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续。
    • 间断点
      • $f(x)$ 在 $x_0$ 连续要满足以下三个条件：
        • $f(x)$ 在 $x_0$ 有定义；
        • $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)$ 存在；
        • $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$。
      • 如果不满足，则 $x_0$ 是 $f(x)$ 的间断点。
      • 若 $\lim\limits_{x\to x_0^-} f(x)$ 和 $\lim\limits_{x\to x_0^+} f(x)$ 均存在，则称 $x_0$ 为第一类间断点。否则称 $x_0$ 为第二类间断点。
    • 性质
      • 若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x_0$ 连续，则它们的四则运算、反函数、复合的函数均在 $x_0$ 连续。
      • 所有初等函数在定义区间内连续。
      • 闭区间上的连续函数有界、有最值。
    • 定理
      • 零点定理
        • 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)f(b)<0$，则 $\exists\xi\in(a,b)$，使得 $f(\xi)=0$。
      • 介值定理
        • 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$m=\min\limits_{x\in[a,b]}\{f(x)\}$，$M=\max\limits_{x\in[a,b]}\{f(x)\}$，则对 $\forall \mu$，只要 $m\le\mu\le M$，则 $\exists\xi\in(a,b)$，使得 $f(\xi)=\mu$。
  • 凹凸性
    • 详见导数研究凹凸性页面。
  • 渐近线
    • 定义
      • 当曲线上的点沿曲线无限远离原点时，与某一直线的距离趋于 $0$，则称该直线为该曲线的一条渐近线。
    • 求解
      • 如果 $\lim\limits_{x\to C^-}=\infty$ 或 $\lim\limits_{x\to C^+}=\infty$，则 $x=C$ 为 $f(x)$ 的一条垂直渐近线。
      • 如果 $\lim\limits_{x\to +\infty}=C$ 或 $\lim\limits_{x\to -\infty}=C$，则 $y=C$ 为 $f(x)$ 的一条水平渐近线。
      • 如果 $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=k,\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)-kx=b$，则 $y=kx+b$ 是 $f(x)$ 的一条斜渐近线。对 $x\to-\infty$ 同理。
• 运算
  • 基本运算
    • 设 $f(x),g(x)$ 的定义域为 $D_1,D_2$，$D=D_1\cap D_2$ 是非空数集，则我们可以在 $D$ 上定义这两个函数的运算：
      • 和 $f+g$：$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$
      • 差 $f-g$：$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$
      • 积 $f\cdot g$：$(f\cdot g)(x)=f(x)g(x)$
      • 商 $\frac{f}{g}$：$\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\left(g(x)\ne 0\right)$
      • 幂 $f^m$：$f^m(x)=[f(x)]^m \left(m\ne -1\right)$
  • 反函数
    • 定义
      • 设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $X$，值域为 $Y$，如果对 $\forall y\in Y$，在 $X$ 中只有唯一一个 $x$ 与之对应，从而 $x$ 与 $y$ 之间构成一一对应，根据函数的定义，$x$ 也是 $y$ 的函数，此时 $y$ 是自变量，$x$ 是因变量，它是由 $y=f(x)$ 所产生的，称为 $y=f(x)$ 的反函数，记作 $x=f^{-1}(y)$。
      • 习惯上 $x$ 代表自变量，$y$ 代表因变量，所以 $y=f(x)$ 的反函数就记作 $y=f^{-1}(x)$。
    • 性质
      • 反函数表示逆过程，$f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x$。
      • 在平面直角坐标系中，$f(x)$ 与 $f^{-1}(x)$ 的图像关于 $y=x$ 对称。
    • 定理
      • 反函数存在定理：如果 $y=f(x)$ 是定义在 $X$ 上的单调递增（或单调递减）函数，其值域为 $Y$，则必存在反函数 $f^{-1}(y)$，且反函数在 $Y$ 上也是单调递增（或单调递减）的。
  • 复合函数
    • 设函数 $y=f(u)$ 的定义域为 $D_1$，$u=g(x)$ 的定义域为 $D$，值域为 $g(D)$，如果 $g(D)\subset D_1$，则由式 $y=f(g(x))$ 确定的函数称为 $y=f(u),u=g(x)$ 的复合函数，常用 $f\circ g$ 表示这个函数，即 $(f\circ g)(x)=f(g(x))$，$(f\circ g)(x)$ 的定义域是 $D$，变量 $u$ 称为中间变量。
• 常用函数
  • 常数函数：$y=C(C$ 为常数$)$
  • 幂函数：$y=x^{\mu}(\mu$ 为实数$)$
  • 指数函数：$y=a^x(a>0,a\ne 1)$
  • 对数函数：$y=\log_a x(a>0,a\ne 1)$
  • 三角函数：$y=\sin x,y=\cos x,y=\tan x,y=\cot x=\frac{1}{\tan x},y=\sec x=\frac{1}{\cos x},y=\csc x=\frac{1}{\sin x}$
  • 反三角函数：$y=\arcsin x,y=\arccos x,y=\arctan x$
  • 双曲函数
    • $y=\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
    • $y=\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
    • $y=\tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
  • 反双曲函数
    • $y=\operatorname{arsinh}=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$
    • $y=\operatorname{arcosh}=\ln(x+\sqrt{x^2-1})$
    • $y=\operatorname{artanh}=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}$
  • 绝对值函数：$|x|=\sqrt{x^2}$
  • 符号函数：$\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{matrix} 1, & x>0\\ 0, & x=0\\ -1, & x<0\end{matrix}\right.$