线性方程组的直接解法

• 消元法
  • 通用过程

    • 规定线性方程组为 $A\boldsymbol x = \boldsymbol b$，有 $n$ 个 $n$ 元方程。

    • 消元法的通用过程就是将 $A$ 分解为下三角矩阵 $L$ 和上三角矩阵 $U$ 相乘，再回代求解。

    • 对第 $i$ 行：

      • 选定 $l_{ii}$。
      • 令 $u_{ij} = \dfrac{a_{ij} - \sum_{k = 1}^{i-1} l_{ik}u_{kj}}{l_{ii}}\ (j\ge i)$，$z_i$ 类似。
      • 令 $l_{ji} = \dfrac{a_{ji} - \sum_{k = 1}^{i-1} l_{jk}u_{ki}}{u_{ii}}\ (j < i)$

    • 对于一个三元线性方程组按照如下方式列表格：

    • $l_{11},u_{11} = \dfrac{a_{11}}{l_{11}}$	$u_{12} = \dfrac{a_{12}}{l_{11}}$	$u_{13} = \dfrac{a_{13}}{l_{11}}$	$z_1 = \dfrac{b_1}{l_{11}}$
      $l_{21} = \dfrac{a_{21}}{u_{11}}$	$l_{22},u_{22} = \dfrac{a_{22} - l_{21}u_{12}}{l_{22}}$	$u_{23} = \dfrac{a_{23} - l_{21}u_{13}}{l_{22}}$	$z_2 = \dfrac{b_2 - l_{21}z_1}{l_{22}}$
      $l_{31} = \dfrac{a_{31}}{u_{11}}$	$l_{32} = \dfrac{a_{32} - l_{31}u_{12}}{u_{22}}$	$l_{33},u_{33} = \dfrac{a_{33} - l_{31}u_{13} - l_{32}u_{23}}{l_{33}}$	$z_3 = \dfrac{b_3 - l_{31}z_1 - l_{32}z_2}{l_{33}}$

  • 高斯消元法
    • 对于所有的 $l_{ii}$，均选定 $1$。
  • 克劳特消元法
    • 对于所有的 $l_{ii}$，均选定使 $u_{ii} = 1$，即 $l_{ii} = a_{ii} - \displaystyle\sum_{k = 1}^{i-1} l_{ik}u_{ki}$。
  • 平方根法
    • 对于所有的 $l_{ii}$，均选定使 $u_{ii} = l_{ii}$，即 $l_{ii} = \sqrt{a_{ii} - \displaystyle\sum_{k = 1}^{i-1} l_{ik}u_{ki}}$。
• 主元法
  • 列主元法
    • 为减小误差，消元进行到第 $i$ 行时，选定第 $i$ 列系数绝对值最大的一个为主元，交换主元行与当前行。
    • 交换后，选择 $l_{ii} = 1$。
  • 全主元法
    • 在 $a_{(i\sim n)(i \sim n)}$ 子矩阵中选择主元，需要交换行和未知数的顺序。