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计算机科学
MATLAB
MATLAB 科学计算

MATLAB 科学计算

  • 符号运算
    • 定义
      • sym_x = sym('x'); % 定义一个符号变量，用 sym_x 在代码中引用，显示为 x
syms a b; % 同时定义两个符号变量 a 和 b
    • 使用
      • 符号变量使用与普通变量没有区别。
      • 包含符号变量的表达式赋值给其他变量，这个变量也会变成符号变量。
    • 数值代入
      • 符号变量的表达式无法直接代入数值，需要使用 matlabFunction 函数转换。
      • syms x y;
z = x^2 + y^2;
func_z = matlabFunction(z);
% func_z = @(x,y)x.^2+y.^2
      • matlabFunction 函数自动识别表达式中的符号，创建对应参数的匿名函数。
      • 入参可以是数组。
  • 代数运算
    • 因式分解
      • syms x;
f = factor(x^3 - 1);
% f = [x - 1, x^2 + x + 1]
        syms a b c d;
% 指定对含 b 或 c 的项进行因式分解，其他项因式分解的结果放在最前面
y = -a*b^5*c*d*(a^2 - 1)*(a*d - b*c);
f = factor(y, [b, c]);
% f = [-a*d*(a - 1)*(a + 1), b, b, b, b, b, c, a*d - b*c]
    • 展开
      • syms x y
f = expand((x + y)^3);
% f = x^3 + 3*x^2*y + 3*x*y^2 + y^3
    • 合并同类项
      • syms x y;
f = x^2*y - x*y^2 - x*y + y^2;
f_x = collect(f); % 默认对 x 合并
% f_x = y*x^2 + (- y^2 - y)*x + y^2
f_y = collect(f, y); % 指定对 y 合并
% f_y = (1 - x)*y^2 + (x^2 - x)*y
    • 分式通分
      • syms x y;
f = 1/x - 1/y;
num = numden(f); % 返回分子
% num = y - x
[num, den] = numden(f); % 返回分子、分母
% num = y - x, den = xy
  • 线性代数
    • 构造
      • 单位矩阵：A = eye(n)，返回 nn 阶单位矩阵。
      • 零矩阵：A = zeros(n)，返回 nn 阶零矩阵。
      • 对角矩阵：A = diag([a1, a2, a3])，返回以 a1, a2, a3 为对角元的对角矩阵。
      • 浮点数随机矩阵：A = rand(n)，返回 nn 阶矩阵，元素为 [0,1][0,1] 内的随机浮点数。
      • 整数随机矩阵：A = magic(n)，返回 nn 阶矩阵，元素为 [1,n2][1,n^2] 中的整数的乱序排列。
    • 运算
      • 加法：A + B
      • 乘法：A*B
      • 乘幂：A^n
      • 点乘：A.*B，矩阵元素对应相乘。其他运算也有类似的点运算。
      • 转置：A_transpose = A'
      • 求逆：A_inverse = inv(A)
      • 行列式：d = det(A)
      • 特征值
        • e = eig(A)：返回矩阵特征值，以列向量给出。
        • [V, D] = eig(A)：返回矩阵单位特征向量以及相似的对角矩阵。
      • LU 分解：[L, U] = lu(A)
      • 单位化：B = normalize(A)，将矩阵的列单位化。
  • 多项式
    • 表示
      • MATLAB 中多项式用行向量表示。
      • 对于多项式 anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0，行向量则是多项式的系数 [anan−1⋯a1a0]\begin{bmatrix}a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0\end{bmatrix}。
    • 运算
      • 求值
        • p = [1 -3 2]; % p(x) = x^2 - 3*x + 2
v = polyval(p, 3) % 求 p(3)
% v =
      • 特征多项式
        • A = [[16, 2, 3, 13]; [5, 11, 10, 8]; [9, 7, 6, 12]; [4, 14, 15, 1]]
p = poly(A); % 求方阵 A 的特征多项式系数向量
% p = 1.0e+03 * [0.0010, -0.0340, -0.0800, 2.7200, 0.0000]
        • lambda = [1, 2, -2, 0];
p = poly(lambda); % 求特征值对应的特征多项式
% p = [1, -1, -4, 4, 0]
      • 乘法
        • p = [1, -3, 2]; % p(x) = x^2 - 3*x + 2
q = [2, -1]; % q(x) = 2*x - 1
pq = conv(p, q); % 系数向量的卷积就是多项式乘积的系数, p(x)*q(x) = 2*x^3 - 7*x^2 + 7*x - 2
% pq = [2 -7 7 -2]
      • 除法
        • p = [1, -3, 2]; % p(x) = x^2 - 3*x + 2
q = [2, -1]; % q(x) = 2*x - 1
[d, r] = deconv(p, q); % 多项式除法，p(x) = d(x)*q(x) + r(x)
% d = [0.5000, -1.2500], r = [0, 0, 0.7500]
      • 求根
        • f = [1, -3, 2]; % f(x) = x^2 - 3*x + 2
r = roots(f); % 求 f(x) = 0 的根
% r = [2; 1]
% 根以列向量形式给出
      • 求导
        • f = [1, 2, -1, 4, 1]; % f(x) = x^4 + 2*x^3 - x^2 + 4*x + 1
der_f = polyder(f); % 对 f(x) 求导
% der_f = [4, 6, -2, 4]
      • 拟合
        • x = [1, 3.51, 6.4, 9.92, 8.76];
y = [0.48, 1.03, 2.31, 6.48, 4.49];
p = polyfit(x, y, 2); % 用二次多项式拟合
% p = [0.0865, -0.3067, 0.8058]
  • 微积分
    • 极限
      • syms x;
f = sin(x)/x;
l = limit(f) % 默认求自变量为 x 时 f(x) 在 x = 0 的极限
% l = 1
l = limit(f, x, pi/2) % 求 f(x) 在 x = 1 的极限
% l = 2/pi
      • syms x;
f = abs(x)/x;
l = limit(f, x, 0, 'Left'); % 求左极限
% l = -1
l = limit(f, x, 0, 'Right'); % 求右极限
% l = 1
    • 求导
      • syms x;
f = sin(x);
d1 = diff(f); % 默认以 x 为自变量求 f'
% d1 = 2*x*cos(x^2)
d2 = diff(f, x, 2); % 求 f''(x)
d2 = 2*cos(x^2) - 4*x^2*sin(x^2)
    • 积分
      • syms x;
f = f = x^(1/2)/(1 + x^(1/3));
intf = int(f) % 求 f(x) 的不定积分
% intf = 6*atan(x^(1/6)) + 2*x^(1/2) - 6*x^(1/6) - (6*x^(5/6))/5 + (6*x^(7/6))/7
intf = int(f, 0, 1) % 求 f(x) 在 [0, 1] 上的定积分
% intf = (3*pi)/2 - 152/35
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