组合功能模块

• 基本逻辑函数
  • 1 位函数
    • 当只有 $1$ 位变量 $X$ 时，函数 $F$ 只有 $4$ 种情况：$0, 1, X, \overline X$。
    • $F = 0$ 用 $F$ 接地表示，$F = 1$ 用 $F$ 接 $V_{\mathrm{CC}}$ 或 $V_{\mathrm{DD}}$ 表示。
    • $F = \overline X$ 时，在 $X$ 和 $F$ 之间接非门。
  • 多位函数
    • 输入变量 $X$ 有 $n$ 个位时，可以表示用向量 $X(n - 1:0)$ 表示，特定分量用 $X_i, X(i), X(i:j)$ 表示。
• 使能
  • 使能控制输入信号传递到输出端是否被屏蔽，被屏蔽时输出保持为一个非使能值。
  • 使用与门实现使能：$F = X \cdot \mathrm{EN}$，$\mathrm{EN} = 1$ 时 $F = X$，否则 $F = 0$。
  • 使用或门实现使能：$F = X + \overline{\mathrm{EN}}$，$\mathrm{EN} = 1$ 时 $F = X$，否则 $F = 1$。
• 译码器
  • 定义
    • 译码器将一种 $n$ 位二进制编码转换为一种 $m\ (m \le 2^n)$ 位的输出码，输出码最多只有一位为 $1$。
    • 输入为 $n$ 位、输出为 $m$ 位的译码器称为 $n$-$m$ 译码器。
    • 译码器可以带有使能功能，当 $\mathrm{EN} = 1$ 时有译码结果，否则没有。
  • 简单译码器
    • 1-2 译码器有 $1$ 位输入 $A_0$，有 $2$ 位输出 $D_0, D_1$。
      • $D_0 = A_0$，$D_1 = \overline{A_0}$。
    • 2-4 译码器有 $2$ 位输入 $A_1, A_0$，有 $4$ 位输出 $D_0, D_1, D_2, D_3$。
      • $D_0 = \overline{A_1}\ \overline{A_0}$，$D_1 = \overline{A_1} A_0$，$D_2 = A_1 \overline{A_0}$，$D_3 = A_1 A_0$。
  • 分级组合译码器
    • 一个 $n$-$2^n$ 的译码器可以由 $n_1$-$2^{n_1}$ 译码器和 $n_2$-$2^{n_2}$ 译码器组成，$n_1 + n_2 = n$。
      • 将 $n$ 位二进制输入 $A(n - 1:0)$ 拆分为 $n_1$ 位的高位部分 $A(n - 1:n_2)$ 和 $A(n_2 - 1:0)$ 位的低位部分，分别接入两个译码器。
      • 最终每个输出 $D_i$ 为两个译码器对应部分的输出 $D_{h,i / 2^{n_2}}$ 和 $D_{l, i \bmod 2^{n_2}}$ 接与门。
      • 不考虑两个译码器内的逻辑门，最终需要 $2^n$ 个与门。
    • 一个 $n$-$2^n$ 的译码器使用一个 $\left\lfloor \dfrac{n}{2} \right\rfloor$ 输入的译码器和一个 $\left\lceil \dfrac{n}{2} \right\rceil$ 输入的译码器，门输入成本最低。
    • 
  • 译码器和布尔函数
    • $n$ 变量布尔函数 $F$ 有 $2^n$ 个最小项，分别对应 $n$-$2^n$ 译码器的各个输出。
    • 将 $F$ 取值为 $1$ 的最小项对应的译码器输出用或门连接，则或门输出为 $F$。
• 编码器
  • 定义
    • 编码器是译码器的逆过程。
    • $m$ 个输入、$n$ 个输出的编码器记作 $m$-$n$ 编码器。输入记作 $D_i$，输出记作 $A_i$。
  • 普通编码器
    • 普通的 $m$-$n$ 编码器假设 $m$ 个输入中任何时刻都有且仅有一个位为 $1$。
    • 输出使用或门连接输入，若某输入为 $1$ 时当前输出应为 $1$，则或门要连接这个输入。
    • 如果普通编码器有多个输入为 $1$，则最终输出结果是每个 $1$ 输入单独出现时的结果取或。
  • 优先编码器
    • 优先编码器定义了输入的优先级（一般是高位优先级高），多个输入为 $1$ 时编码高优先级输入。
    • 优先编码器除了编码输出，还有 $V$ 输出，表示是否有值输入，用所有输入的或实现。
    • 高位优先级高时，真值表可以改为紧凑真值表。
      • 有 $m + 1$ 行，全 $0$ 输入时，$V = 0$。
      • $D_i = 1$ 时，$V = 1$，$D_j\ (j > i) = 0$，$D_j\ (j < i) = \mathrm{X}$，表示取值任意。
    • 
• 多路复用器
  • 定义
    • $2^n$-$1$ 多路复用器从 $2^n$ 个输入中选择一个，用 $n$ 个选择输入控制。
      • $1$ 表示复用一条线路输出。
    • $2^n$-$1$ 多路复用器的实现：
      • 由一个 $n$-$2^n$ 译码器、$2^n$ 个与门、一个 $2^n$ 输入或门组成。
      • 译码器输入接控制输入 $A_i$。
      • 第 $i$ 个与门接译码器输出 $D_i$ 和输入 $I_i$。
      • $2^n$ 输入或门的输入接所有与门，输出为 $Y$。
    • 
  • 多重多路复用器
    • $m$ 重 $2^n$-$1$ 多路复用器从 $2^n$ 个 $m$ 位输入中选择一个。
    • $m$ 重 $2^n$-$1$ 多路复用器的实现：
      • 由一个 $n$-$2^n$ 译码器、$m \cdot 2^n$ 个与门、$m$ 个 $2^n$ 输入或门组成。
      • 第 $j$ 个 $2^n$ 输入或门接 $2^n$ 个与门，这些与门中，第 $i$ 个输入接 $I_{ij}$ 和 $D_i$。
      • 第 $j$ 个 $2^n$ 输入或门输出为 $Y_j$。
  • 多路复用器与布尔函数
    • 给定一个 $n$ 变量布尔函数 $F$，用 $2^n$-$1$ 多路复用器的实现方法：
      • 每个最小项 $m_i$ 对应多路复用器输入 $I_i$。
      • 若 $F(m_i) = 1$，则 $I_i$ 连接 $1$，否则连接 $0$。
    • 用 $2^{n - 1}$-$1$ 多路复用器的实现方法：
      • 仅考虑前 $n - 1$ 个变量组成的最小项 $m_i'$，对应多路复用器输入 $I_i$。
      • 对于 $I_i$，前 $n - 1$ 个变量取值已经固定，$F$ 退化为最后一个变量的函数。
      • $I_i$ 根据真值表中 $2 m'_i$ 和 $2 m'_i + 1$ 最小项的取值，接 $0, 1, X, \overline X$。
    • 如果用 $2^{n - k}$-$1$ 多路复用器的实现，则 $I_i$ 可能接的布尔函数有 $2^{2^k}$ 种。
• 加法器
  • 半加器
    • 半加器输入两个加数 $X,Y$，输出和 $S$ 和进位 $C$。
    • $S = X \oplus Y$，$C = XY$。
  • 全加器
    • 全加器输入两个加数 $X,Y$ 和低位进位 $Z$，输出和 $S$ 和进位 $C$。
    • $S = (X \oplus Y) \oplus Z = \overline X\ \overline Y Z + \overline X Y \overline Z + X \overline Y\ \overline Z + X Y Z$。
    • $C = X Y + (X \oplus Y) Z = X Y + X Z + Y Z$。
    • 
  • 行波加法器
    • $n$ 位行波加法器由 $n$ 个全加器组合而成，输入为两个加数 $A(n - 1:0), B(n - 1:0)$，最低位进位 $C_0$，输出和 $S(n - 1:0)$。
    • 定义第 $i\ (i = 0, 1,2,\dots)$ 个全加器的中间进位为 $C_i$。
    • 第 $i + 1$ 个加法器的低位进位输入接 $C_i$。
    • 
• 减法器
  • 补码
    • $n$ 位二进制无符号整数 $x$ 的补码是 $2^n - x$，为模 $2^n$ 加法群的逆元。
    • $x$ 的补码的二进制计算方法：对 $x$ 按位取反再加 $1$。
    • $n$ 位二进制有符号整数 $x$ 的补码表示法：
      • 最高位为符号位，$0$ 表示正数或 $0$，$1$ 表示负数，剩下的为数值位。
      • 若 $x \ge 0$，则数值位为 $x$ 的二进制表示。
      • 若 $x < 0$，则数值位为 $|x|$ 的 $2^{n - 1}$ 补码的二进制表示。
    • 有符号整数 $x$ 的补码表示（按照无符号整数）的补码是 $-x$ 的补码表示。
  • 实现
    • $n$ 位减法器输入位被减数 $A(n - 1:0)$ 和 减数 $B(n - 1:0)$，输出差 $S(n - 1:0)$。
    • $n$ 位减法器使用一个 $n$ 位加法器，将 $A$、$B$ 的反接入加法器，同时加法器 $C_0$ 接 $1$。
    • 可以将加法器与加法器结合，在 $B$ 输入处接异或门控制是否取反，加法器 $C_0$ 接 $0$ 或 $1$。
    • 
• 递增器
  • 使用加法器实现：
    • 令 $B_0 = 1, B_i = 0\ (i > 0), C_0 = 0$。
    • 令 $B_i = 0, C_0 = 1$。
• 递减器
  • 使用加法器实现：令 $B_i = 1, C_0 = 0$。
• 常数乘法器
  • $n$ 位常数乘法器中设 $A(n - 1:0)$ 为常数，$B(n - 1:0)$ 为输入。
  • 当 $A = 2^k$ 时，结果为 $B$ 左移 $k$ 位。
    • 实现只需要令 $S_i = B_{i - k}\ (k \le i < n + k)$，其他位为 $0$。
  • 对于任意的 $A$，结果为所有 $\displaystyle\sum_{i = 0}^{n - 1} A_i (2^i \cdot B)$。
    • 实现时使用加法器累加每一个项，若 $A_i = 0$ 则跳过，否则将 $B$ 左移 $i$ 位再累加。
• 常数除法器
  • $n$ 位常数除法器中设 $A(n - 1:0)$ 为输入，$B(n - 1:0)$ 为输出。
  • 此处仅考虑 $B = 2^k$，结果为 $A$ 右移 $k$ 位。